Chủ đề này có 3 trả lời

[frazier]

1, Tìm min với $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$
$ P= \dfrac{x^2(y+z)}{yz} + \dfrac{y^2(x+z)}{xz}+\dfrac{z^2(y+x)}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-06-2011 - 13:26

[anhtuanDQH]

1, Tìm min với x,y,z>0 và x+y+z=1
P= $\dfrac{x^2(y+z)}{yz} + \dfrac{y^2(x+z)}{xz}+\dfrac{z^2(y+x)}{xy}$

Ta có : Cauchy-schwarz

$\ P= ( \sum x^2)( \sum \dfrac{1}{x} ) - \sum x \geq \dfrac{( \sum x )^2 }{3} . \dfrac{9}{ \sum x} -\sum x = 2 $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

1, Tìm min với x,y,z>0 và x+y+z=1
P= $\dfrac{x^2(y+z)}{yz} + \dfrac{y^2(x+z)}{xz}+\dfrac{z^2(y+x)}{xy}$

Một cách khác cho bài này :
$ P= \sum x^2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \geq \dfrac{4x^2}{x+y}=\dfrac{4x^2}{1-x} $
Ta sẽ đi chứng minh : $ \dfrac{4x^2}{1-x} \geq 5x-1 (1)$
Thật vậy $ (1) \leftrightarrow (3x-1)^2 \geq 0 $
Từ đó ta có :

$ \sum \dfrac{4x^2}{1-x} \geq 5(x+y+z)-3 =2 $
Do đó $ P \geq 2 $

[hongmieu]

1, Tìm min với x,y,z>0 và x+y+z=1
P= $\dfrac{x^2(y+z)}{yz} + \dfrac{y^2(x+z)}{xz}+\dfrac{z^2(y+x)}{xy}$

Do $yz\leq \dfrac{(z+y)^{2}}{4} $
ta có $\dfrac{x^{2}(y+z)}{yz}\geq \dfrac{4x^{2}}{y+z}$
Áp dụng bđt $\dfrac{x^{2}}{a}+\dfrac{y^{2}}{b}+\dfrac{z^{2}}{c}\geq \dfrac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$ ta có
$ P\geq \sum \dfrac{4x^{2}}{y+z}\geq \dfrac{4(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongmieu: 21-06-2011 - 10:25