Chủ đề này có 5 trả lời

[Galoa_82]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.
Tìm GTLN của $P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}$

File gửi kèm

•  VP2011.doc   22.5K   149 Số lần tải

[l.kuzz.l]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.
Tìm GTLN của $P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}$

Thử Cauchuy xem
$ \dfrac{ \sqrt{ab}}{c(a+b+c)+ab} \leq \dfrac{a}{a+c}+ \dfrac{b}{b+c} $
Tương tư như mấy còn lại,Cộng vào ta sẽ có GTLN= 1.5 <=>a=b=c=0.(3)

[legialoi]

Từ a + b + c = 1 => $ {\rm{ac + bc + c}}^{\rm{2}} {\rm{ = c}} $( Do c > 0)
Vì vậy: $ {\rm{c + ab = ac + ab + bc + c}}^{\rm{2}} {\rm{ = (b + c)(c + a)}}$
Do đó :$ \sqrt {\dfrac{{ab}}{{c + ab}}} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}}} \le \dfrac{{\dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{b}{{b + c}}}}{2}$(Cô si)
Tương tự: $ \sqrt {\dfrac{{bc}}{{a + bc}}} \le \dfrac{{\dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}}}{2}$;$\sqrt {\dfrac{{ca}}{{b + ca}}} \le \dfrac{{\dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{a}{{a + b}}}}{2}$
Suy ra : $ P \le \dfrac{{\dfrac{{a + c}}{{a + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b}}{{a + b}}}}{2} = \dfrac{3}{2}$
Do đó: MaxP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = $\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi legialoi: 24-06-2011 - 11:28

[Galoa_82]

Thử Cauchuy xem
$ \dfrac{ \sqrt{ab}}{c(a+b+c)+ab} \leq \dfrac{a}{a+c}+ \dfrac{b}{b+c} $
Tương tư như mấy còn lại,Cộng vào ta sẽ có GTLN= 1.5 <=>a=b=c=0.(3)

căn cả phân thức mà bạn ơi?

[Galoa_82]

Từ a + b + c = 1 => $ {\rm{ac + bc + c}}^{\rm{2}} {\rm{ = c}} $( Do c > 0)
Vì vậy: $ {\rm{c + ab = ac + ab + bc + c}}^{\rm{2}} {\rm{ = (b + c)(c + a)}}$
Do đó :$ \sqrt {\dfrac{{ab}}{{c + ab}}} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}}} \le \dfrac{{\dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{b}{{b + c}}}}{2}$(Cô si)
Tương tự: $ \sqrt {\dfrac{{bc}}{{a + bc}}} \le \dfrac{{\dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}}}{2}$;$\sqrt {\dfrac{{ca}}{{b + ca}}} \le \dfrac{{\dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{a}{{a + b}}}}{2}$
Suy ra : $ P \le \dfrac{{\dfrac{{a + c}}{{a + c}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b}}{{a + b}}}}{2} = \dfrac{3}{2}$
Do đó: MaxP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = $\dfrac{1}{3}$

Cảm ơn nhé.
Tui giải như vầy:
a+b+c=1 nên c=c(a+b+c)=ca+cb+c^2
c+ab=(c+a)(c+b)
$\sqrt{ \dfrac{ab}{c+ab} } = \sqrt{ \dfrac{ab}{(c+a)(c+b)} } \leq \dfrac{1}{2} ( \dfrac{a}{c+a} + \dfrac{b}{c+b} )$
Làm tương tự như trên, cộng các BĐT lại, ta đc$ P \leq \dfrac{3}{2}$
Dấu đẳng thức khi a = b = c = 1/3

[Galoa_82]

Cảm ơn nhé.
Tui giải như vầy:
a+b+c=1 nên c=c(a+b+c)=ca+cb+c^2
c+ab=(c+a)(c+b)
$\sqrt{ \dfrac{ab}{c+ab} } = \sqrt{ \dfrac{ab}{(c+a)(c+b)} } \leq \dfrac{1}{2} ( \dfrac{a}{c+a} + \dfrac{b}{c+b} )$
Làm tương tự như trên, cộng các BĐT lại, ta đc$ P \leq \dfrac{3}{2}$
Dấu đẳng thức khi a = b = c = 1/3

Úi, quên mất, cách này trùng với của bạn legialoi rùi, của tui như vầy:
c=1-a-b nên c+ab=ab+1-a-b=(1-a)(1-b) do đó $\dfrac{ab}{c+ab}=\dfrac{ab}{(1-a)(1-b)} = \dfrac{a}{1-b} . \dfrac{b}{1-a} $
$\sqrt{ \dfrac{ab}{c+ab} }\leq 0,5 (\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}) $
Do đó , xây dựng tương tự , rồi cộng các p/s cùng mẫu lại, ta đc P $\leq \dfrac{1}{2}.3= \dfrac{3}{2} $ Dấu đẳng thức khi a = b = c = 1/3