Chủ đề này có 9 trả lời

[zone]

Liệu bài sau có thể giải bằng pp Cauchy ngược dấu
Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$

[uchihalinh]

Ta có $\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}}$
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Ta có $\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}}$
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo

Bạn nên lưu ý Dấu ''='' xảy ra ! Theo như bạn làm thì BĐT chỉ đúng khi k=3

[phuonganh_lms]

Ta có $\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}}$
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo

đề là $\dfrac{a}{b^2+1}$ cơ mà

[hangochoanthien]

đề là $\dfrac{a}{b^2+1}$ cơ mà

Bởi thế bạn đó mới giải ra chứ :
Thực ra nhầm chỗ này :
$ \dfrac{a^2}{b^2+1}=a- \dfrac{a^2b}{b^2+1}$ .Quy đồng lên thấy liền mà .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 29-06-2011 - 01:02

[zone]

Tớ mong các member nhiệt tình lên 1 chút. Nếu không giải bằng caushy ngược dấu thì giải ra kiểu gì cũng được. bài này tớ đang rất cần lời giải. (

[alex_hoang]

Tớ mong các member nhiệt tình lên 1 chút. Nếu không giải bằng caushy ngược dấu thì giải ra kiểu gì cũng được. bài này tớ đang rất cần lời giải. (

a,b,c như thế nào ? số thực hay Ko âm hay dương

[đat]

Mình mạo muội đặt thêm điều kiện a,b,c>0.
$\sum{\dfrac{a}{{{b}^{2}}+1}=\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}+a-a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}}=\sum{a-\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}\ge k-\sum{\dfrac{ab}{2}}}}}\ge k-\dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{6}=k-\dfrac{{{k}^{2}}}{6}$
Làm thế này nhưng vẫn có thắc mắc là: nếu k>6 thì min của vế trái sẽ âm.Vô lí !

[dark templar]

Mình mạo muội đặt thêm điều kiện a,b,c>0.
$\sum{\dfrac{a}{{{b}^{2}}+1}=\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}+a-a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}}=\sum{a-\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}\ge k-\sum{\dfrac{ab}{2}}}}}\ge k-\dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{6}=k-\dfrac{{{k}^{2}}}{6}$
Làm thế này nhưng vẫn có thắc mắc là: nếu k>6 thì min của vế trái sẽ âm.Vô lí !

Chỉ đơn giản là cách làm của bạn sai Nó chỉ đúng cho $k=3$.Bạn có để ý là khi bạn cho $-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1} \ge -\sum\dfrac{ab}{2}$
là đã mặc định cho $a=b=c=1$,tức là $k=3$ rồi ! Nếu bạn đọc kỹ hơn thì trước bạn đã có 1 thành viên làm sai giống bạn rồi(bài post thứ 2).
P/s:Mình đồng ý với bạn alex_hoang là điều kiện cho $a,b,c$ là gì ?.Phải biết điều kiện thì mới có thể giải được .

[zone]

Chỉ đơn giản là cách làm của bạn sai ) Nó chỉ đúng cho $k=3$.Bạn có để ý là khi bạn cho $-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1} \ge -\sum\dfrac{ab}{2}$
là đã mặc định cho $a=b=c=1$,tức là $k=3$ rồi ! Nếu bạn đọc kỹ hơn thì trước bạn đã có 1 thành viên làm sai giống bạn rồi(bài post thứ 2).
P/s:Mình đồng ý với bạn alex_hoang là điều kiện cho $a,b,c$ là gì ?.Phải biết điều kiện thì mới có thể giải được .

Lỗi xuất xưởng
a,b,c là số dương. Mong các bạn giúp cho