Cauchy ngược dấu
#1
Đã gửi 27-06-2011 - 10:11
Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$
#2
Đã gửi 27-06-2011 - 17:49
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo
#3
Đã gửi 27-06-2011 - 19:29
Bạn nên lưu ý Dấu ''='' xảy ra ! Theo như bạn làm thì BĐT chỉ đúng khi k=3Ta có $\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}}$
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#4
Đã gửi 27-06-2011 - 20:53
đề là $\dfrac{a}{b^2+1}$ cơ màTa có $\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}}$
Tương tự như vậy:
$VT = a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$VT \ge a + b + c - (\dfrac{{a{b^2}}}{{2b}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{2c}} + \dfrac{{c{a^2}}}{{2a}})$
$ = > VT \ge a + b + c - (\dfrac{{ab + bc + ca}}{2})$
Lại có
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
$= > - \dfrac{{(ab + bc + ca)}}{2} \ge \dfrac{{ - {{(k)}^2}}}{6}$
$= > VT \ge k - \dfrac{{{k^2}}}{6}$
Nếu có chỗ sai sót mong mọi người chỉ bảo
#5
Đã gửi 29-06-2011 - 01:02
Bởi thế bạn đó mới giải ra chứ :đề là $\dfrac{a}{b^2+1}$ cơ mà
Thực ra nhầm chỗ này :
$ \dfrac{a^2}{b^2+1}=a- \dfrac{a^2b}{b^2+1}$ .Quy đồng lên thấy liền mà .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 29-06-2011 - 01:02
#6
Đã gửi 03-07-2011 - 16:12
#7
Đã gửi 03-07-2011 - 18:08
a,b,c như thế nào ? số thực hay Ko âm hay dươngTớ mong các member nhiệt tình lên 1 chút. Nếu không giải bằng caushy ngược dấu thì giải ra kiểu gì cũng được. bài này tớ đang rất cần lời giải. (
- hai_ddt_311 yêu thích
#8
Đã gửi 03-07-2011 - 22:17
$\sum{\dfrac{a}{{{b}^{2}}+1}=\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}+a-a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}}=\sum{a-\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}\ge k-\sum{\dfrac{ab}{2}}}}}\ge k-\dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{6}=k-\dfrac{{{k}^{2}}}{6}$
Làm thế này nhưng vẫn có thắc mắc là: nếu k>6 thì min của vế trái sẽ âm.Vô lí !
#9
Đã gửi 04-07-2011 - 08:54
Chỉ đơn giản là cách làm của bạn sai Nó chỉ đúng cho $k=3$.Bạn có để ý là khi bạn cho $-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1} \ge -\sum\dfrac{ab}{2}$Mình mạo muội đặt thêm điều kiện a,b,c>0.
$\sum{\dfrac{a}{{{b}^{2}}+1}=\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}+a-a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}}=\sum{a-\sum{\dfrac{a{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+1}\ge k-\sum{\dfrac{ab}{2}}}}}\ge k-\dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{6}=k-\dfrac{{{k}^{2}}}{6}$
Làm thế này nhưng vẫn có thắc mắc là: nếu k>6 thì min của vế trái sẽ âm.Vô lí !
là đã mặc định cho $a=b=c=1$,tức là $k=3$ rồi ! Nếu bạn đọc kỹ hơn thì trước bạn đã có 1 thành viên làm sai giống bạn rồi(bài post thứ 2).
P/s:Mình đồng ý với bạn alex_hoang là điều kiện cho $a,b,c$ là gì ?.Phải biết điều kiện thì mới có thể giải được .
#10
Đã gửi 05-07-2011 - 16:39
Lỗi xuất xưởngChỉ đơn giản là cách làm của bạn sai ) Nó chỉ đúng cho $k=3$.Bạn có để ý là khi bạn cho $-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1} \ge -\sum\dfrac{ab}{2}$
là đã mặc định cho $a=b=c=1$,tức là $k=3$ rồi ! Nếu bạn đọc kỹ hơn thì trước bạn đã có 1 thành viên làm sai giống bạn rồi(bài post thứ 2).
P/s:Mình đồng ý với bạn alex_hoang là điều kiện cho $a,b,c$ là gì ?.Phải biết điều kiện thì mới có thể giải được .
a,b,c là số dương. Mong các bạn giúp cho
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh