Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Hung Phong]

Cho a, b, c > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$ P = \dfrac{a^{2} }{a-1} + \dfrac{2b^{2} }{b-1}+ \dfrac{3c^{2} }{c-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Hung Phong: 29-06-2011 - 15:37

[caubeyeutoan2302]

Cho a, b, c > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$ P = :frac{a^{2} }{a-1} + :frac{2b^{2} }{b-1}+ :frac{3c^{2} }{c-1}$

Sửa lại đề giúp bạn nhé:
Cho a,b,c>1. Tìm min của biểu thức :
$ P = \dfrac{a^{2} }{a-1} + \dfrac{2b^{2} }{b-1}+ \dfrac{3c^{2} }{c-1}$
Mình làm thử bài này luôn
Ta có $ a^2-4a+4 \ge 0 \Leftrightarrow a^2 \ge 4(a-1) \Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a-1} \ge 4$(1)
$b^2-4b+4 \ge 0 \Leftrightarrow 2b^2 \ge 8(b-1) \Leftrightarrow \dfrac{2b^2}{b-1} \ge 8 $(2)
$ c^2-4c+4 \ge 0 \Leftrightarrow 3c^2 \ge 12(c-1) \Leftrightarrow \dfrac{3c^2}{c-1} \ge 12 $(3)
Cộng (1),(2),(3), ta có P=$ \dfrac{a^{2} }{a-1} + \dfrac{2b^{2} }{b-1}+ \dfrac{3c^{2} }{c-1} \ge 4+8+12=24$
Vậy min P=24 khi a=b=c=2. Có gì sai mọi người góp ý nhé

[caubeyeutoan2302]

dùng cauchy-schwarz cũng đc )

Vậy bạn trình bày lời giải ra đi , ghi thế này ai hiểu được ý bạn là như thế nào

[vietfrog]

dùng cauchy-schwarz cũng đc )

Lần sau bạn nhớ ghi rõ cách ra cho mọi người biết nhé. Mình thấy cách của caubeyeutoan la rất hay và ngắn gọn rùi.
Mình xin bổ sung 1 cách khác như sau:(tuy không hay)
Ta có:
$P = \dfrac{{{a^2}}}{{a - 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b - 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b - 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c - 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c - 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c - 1}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
$P \ge \dfrac{{{{(a + 2b + 3c)}^2}}}{{a + 2b + 3c - 6}}$
Đặt $t = a + 2b + 3c$ ta có $P = f(t) = \dfrac{{{t^2}}}{{t - 6}}$
Do $a,b,c > 1 \Rightarrow t > 6$
$f'(t) = \dfrac{{{t^2} - 12t}}{{{{(t - 6)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 12\end{array} \right.$
Lập BBT ta được $f(t) \ge f(12) = 24$
Dấu = xảy ra khi $t = 12$ (kết hợp cùng ĐK dấu = của BĐT Cauchy-Schwarz) $ \Leftrightarrow a = b = c = 2$
Cách này chỉ để tham khảo. Mọi người nên làm theo cách của caubeyeutoan!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-07-2011 - 20:34