Chủ đề này có 436 trả lời

[le_hoang1995]

Mình xin làm bài 102 . Giả sử, $a\ge b\ge c$ Lúc đó, bằng biến đổi tương đương, ta có $a^2b + b^2c + c^2a \ge ab^2 + bc^2 + ca^2$

Theo em thì còn phải giả sử $a\leq b\leq c$ nữa.

[Ispectorgadget]

Bài 109: Cho x,y >0. Tìm GTNN của biểu thức $S=\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
Bài 110: Cho x,y,z >0. Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{{xyz\left( {x + y + z + \sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } } \right)}}{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)(xy + yz + zx)}}$

[Crystal]

Bài 109: Cho x,y >0. Tìm GTNN của biểu thức $S=\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
Bài 110: Cho x,y,z >0. Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{{xyz\left( {x + y + z + \sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } } \right)}}{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)(xy + yz + zx)}}$

Chém 2 bài này.

Bài 109: Đặt $t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \Rightarrow t \ge 2$. Khi đó:
$$S = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)^2} - {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = {\left( {{t^2} - 2} \right)^2} - {t^2} + t$$
$$ = {\left( {{t^2} - 4} \right)^2} + 3\left( {{t^2} - 4} \right) + t \ge 2$$
Vậy $\min S = 2$.

Có thể tìm GTNN bằng cách khảo sát hàm số $f\left( t \right) = {\left( {{t^2} - 2} \right)^2} - {t^2} + t,t \ge 2$.

Bài 110: Dùng chuẩn hóa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 11-01-2012 - 14:09

[Crystal]

Để lại 2 bài vui

Bài 111: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{1 + tgx}} < {\left( {\cos x} \right)^{\sin x}} < \frac{{2 + \sin 2x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}},\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$$
Bài 112: Chứng minh rằng: $${n^n} \le {\left( {n!} \right)^2} \le {\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}} \right]^n},\,\,\,\forall n \mathbb{N}^{*}$$

[Ispectorgadget]

Bài 109: Cho x,y >0. Tìm GTNN của biểu thức $S=\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
Bài 110: Cho x,y,z >0. Tìm GTLN của biểu thức $A=\frac{{xyz\left( {x + y + z + \sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } } \right)}}{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)(xy + yz + zx)}}$

Hai bài này cũng đơn giản
Bài 109:
$S = \left( {{\textstyle{{x^2 } \over {y^2 }}} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{{y^2 }}{{x^2 }} - 1} \right)^2 - 2 + {\textstyle{{x^2 } \over {y^2 }}} + \frac{{y^2 }}{{x^2 }} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
$ S= \left( {{\textstyle{{x^2 } \over {y^2 }}} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{{y^2 }}{{x^2 }} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \right)^2 + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2} \right) + 2$
$S = \left( {{\textstyle{{x^2 } \over {y^2 }}} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{{y^2 }}{{x^2 }} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \right)^2 + \frac{{(x - y)^2 }}{{xy}} + 2 \ge 2$
Dấu "=" xảy ra khi x=y>0
Bài 110:
$x + y + z \le \sqrt {\left( {1^2 + 1^2 + 1^2 } \right)\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)} = \sqrt 3 .\sqrt {x^2 + y^2 + z^2 }$
$S \le \frac{{xyz\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } }}{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)3.\sqrt[3]{{x^2 y^2 z^2 }}}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{xyz}}}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } }} \le \frac{{1 + \sqrt 3 }}{3} \cdot {\textstyle{{\sqrt[3]{{xyz}}} \over {\sqrt 3 .\sqrt[3]{{xyz}}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{9}$

Đâu cần chuẩn hóa đâu anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2012 - 15:58

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 111:Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{abc}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\geq \dfrac{5}{3}$

[DBSK]

Đây là một bài toán rất hay và khó của anh Phạm Kim Hùng lời giải khá dài và có lẽ khá khó cho việc topic này chỉ sử dụng kiến thức toán phổ thông bạn nào muốn có lời giải của nó thì xem tai cuốn sách này
http://diendantoanho...showtopic=61934

Mình có một lời giải dùng phương pháp SS rất đẹp cho bài toán này!

[DBSK]

Bài 111:Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{abc}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\geq \dfrac{5}{3}$

Bài này nhìn qua là ta nghĩ đến ngay việc dùng S.O.S!

[dark templar]

Để lại 2 bài vui

Bài 111: Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{1 + tgx}} < {\left( {\cos x} \right)^{\sin x}} < \frac{{2 + \sin 2x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}},\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$$

Nếu ta đặt $a=\cos{x};b=\sin{x}(0<a,b<1)$ thì bài toán trở thành chứng minh:
$$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}<a^{b}<\frac{1+ab}{1+b}$$
BĐT bên trái thực chất chỉ là 1 kết quả yếu hơn của BĐT sau:
$$a^{b} \ge \frac{a}{a+b-ab}$$
Còn BĐT bên phải cũng là 1 kết quả yếu hơn của BĐT Bernoulli.
$$a^{b} \le 1+(a-1)b<\frac{1+ab}{1+b}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-01-2012 - 20:22

[dark templar]

Mình có một lời giải dùng phương pháp SS rất đẹp cho bài toán này!

Bạn có thể trình bày lời giải đó được không ? Thanks trước

[Ispectorgadget]

Bài 112: Cho x,y,z > 0 và $x^2+y^2+z^2=3$
CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\leq 3$
Singapore MO 2001
Bài này mặc dù là bài thi quốc tế nhưng bài này khá đơn giản

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2012 - 08:41

[T M]

Bài 112: Cho x,y,z > 0 và $x^2+y^2+z^2=3$
CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\leq 3$
Singapore MO 2001
Bài này mặc dù là bài thi quốc tế nhưng bài này khá đơn giản

CM: ĐPCM $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^2\geq\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^3$

Ta có:$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)\geq (x^2+y^2+z^2)^3$ ( Holder)
$\Rightarrow $ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 16-01-2012 - 17:19

[Ispectorgadget]

CM: ĐPCM $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^2\geq\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^3$

Ta có:$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)\geq (x^2+y^2+z^2)$ ( Holder)
$\Rightarrow $ ĐPCM

bài này không cần dùng tới Holder đâu
Ta sẽ chứng minh: $x^3+y^3+z^3\geq x^2+y^2+z^2=3$ (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$VT=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}$
Ta sẽ chứng minh: $\frac{9}{x+y+z}\geq 3\Leftrightarrow 3\geq x+y+z\Leftrightarrow (x+y+z)^2\leq 9$
Kết quả này đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz
$(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$
___
BĐT cần cm $\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)^3\leq 3(x^3+y^3+z^3)^2$
BĐT này đúng theo (1)

[T M]

Nhưng mà dùng Holder sẽ ngắn đi "cơ số" bước biến đổi như trên đấy Ko phải lăn tăn nhiều =))

[Ispectorgadget]

Bài 113:
Cho các số dương a,b,c. Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}+\frac{bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-ac}$

Chết thật gõ nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 17:00

[le_hoang1995]

Bài 113:
Cho các số dương a,b,c. Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}+\frac{bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-ac}$

$\frac{ab}{a^{2}-ab+b^{2}}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x, \frac{a}{c}+\frac{c}{a}=y, \frac{c}{b}+\frac{b}{c}=z$

Ta được $x+y+z+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{z-1}=(x-1+\frac{1}{x-1})+(y-1+\frac{1}{y-1})+(z-1+\frac{1}{z-1})+3$
$\geq 6+3=9$ (Theo AM-GM)

$\Rightarrow A\geq 9$ khi và chỉ khi $x=y=z=2$ tương đương $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 30-01-2012 - 19:54

[Ispectorgadget]

Bài 113:
Cho các số dương a,b,c. Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}+\frac{bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-ac}$

Bài này ngoài ra có thể làm như sau.
Ta sẽ chứng minh
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}\geq 3$
$\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{ab}{a^2-ab+b^2}-1)\geq 0$
Biến đổi tương đương là ra
Làm tương tự với 2 biểu thức còn lại rồi cộng lại tìm được GTNN là 9

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 114:Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt[3]{\frac{b^{2}+ca}{c^{2}+a^{2}}}+\sqrt[3]{\frac{c^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}}}\geq \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 17-01-2012 - 20:52

[alex_hoang]

Bài 114 có ở đây rồi
http://diendantoanho...pic=58309&st=60

[Ispectorgadget]

Bài 115: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CMR
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{3}$