Chủ đề này có 436 trả lời

[Ispectorgadget]

Bài 135: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $0\leq x,y,z\leq a$ với a là số thưc dương. Tìm GTLN của
$P=x(a-y)+y(a-z)+z(a-x)$

Bài 135: Xét tam giác đều có các cạnh là a. Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho AM=x; BN=z;CP=y
Rõ ràng $S_{MAP}+S_{PCN}+S_{NMB}\leq S_{ABC}$

Nên $\frac{1}{2}x(a-y).sin60^0+\frac{1}{2}y(a-z)sin60^0+\frac{1}{2}z(a-x)sin60^0\leq \frac{1}{2}a^2sin60^0$
Từ đây ta có $x(a-y)+y(a-z)+z(a-x)\leq a^2$
Vậy $P\leq a^2$ nên max P là $a^2$ xảy ra khi 1 số bằng a 2 số còn lại bằng 0

P/S bài này nếu đưa về hình học thì khá ngắn gọn

[Dont Cry]

Bài 136 : Cho $a,b,c>1$ thỏa mãn điều kiện $/frac {1}{a} +/frac{1}{b} + /frac{1}{c} \geq 2$ Tìm giá trị lớn nhất của P=$(a-1)(b-1)(c-1)$
ai sửa bài viết giúp mình.DÙng điện thoại viềt khó quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-02-2012 - 22:17
Latex

[Tham Lang]

Mình giải còn rồi còn đi học
ta có $$\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{b - 1}{b} + \dfrac{c - 1}{c} \ge 2\sqrt{\dfrac{(b - 1)(c - 1)}{bc}} (1)$$
Tương tự, ta có $$\dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{(a - 1)(c - 1)}{ac}} (2), \dfrac{1}{c}\ge 2\sqrt{\dfrac{a - 1)(b - 1)}{ab}} (3)$$
Nhân vế theo vế của $(1), (2), (3)$ suy ra $Pmax = \dfrac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 13-02-2012 - 06:23

[xavi]

Bài 137
Tìm GTNN của:

\[P = \sqrt {4{x^2} + {y^2} - 4x + 1} + \sqrt {4{x^2} + {y^2} + 4x + 1} + \left| {y - 2} \right|\]

[Crystal]

Bài 137
Tìm GTNN của:

\[P = \sqrt {4{x^2} + {y^2} - 4x + 1} + \sqrt {4{x^2} + {y^2} + 4x + 1} + \left| {y - 2} \right|\]

Tham khảo: http://diendantoanho...ndpost&p=280276

http://diendantoanho...ndpost&p=280371

[Tham Lang]

Bài 138. Cho $x, y, z \ge 0, xy + yz + zx = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :$$P = x^2y^3 + y^2z^3 + z^2x^3 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2$$
Bài 139. Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1 + a^3}{1 + a^2c} + \dfrac{1 + b^3}{1 + c^2b} + \dfrac{1 + c^3}{1 + b^2a} \ge 3$$
Bài 140.Cho $a, b, c$ không âm. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{(a - b)(13a + 5b)}{a^2 + b^2} + \dfrac{(b - c)(13b + 5c)}{b^2 + c^2} + \dfrac{(c - a)(13c + 5a)}{c^2 + a^2} \ge 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 13-02-2012 - 22:10

[le_hoang1995]

Bài 139. Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1 + a^3}{1 + a^2c} + \dfrac{1 + b^3}{1 + c^2b} + \dfrac{1 + c^3}{1 + b^2a} \ge 3$$

Một cách không hay lắm.

Áp dụng BĐT cauchy trực tiếp cho vế trái ta cần chứng minh $(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (1+a^2c)(1+c^2b)(1+b^2a)$

Nhân tung ra rồi rút gọn, ta còn $\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)+[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq (ab^2+bc^2+ca^2)+(a^3b^2c+b^3c^2a+c^3a^2b)$

Lại theo cauchy ta có $a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2 $ (1)

$(ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3a^3b^2c$ (2)

Tương tự cho 1 và hai rồi cộng lại ta có ĐPCM

(1) và (2) cũng có thể dùng BĐT hoán vị là ra luôn kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 13-02-2012 - 15:03

[Winner269]

Mình đã xem xét lại và thấy rằng bạn nói đúng,dấu bằng không xảy ra tại tâm.Nếu đúng là dấu bằng giống như bạn nói thì BĐT này chắc chắn là hệ quả của BĐT Vasc:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$
Quan trọng là làm sao để từ $a^2b+b^2c+c^2a$ mà có được $a^3b+b^3c+c^3a$ mà thôi Cái này có vẻ phải xài C-S

Rất mong các bạn có thể giải bằng phương pháp C-S. Theo mình thì nếu dùng phương pháp lượng giác sẽ rất dài và khó .

[Ispectorgadget]

Bài 140.Cho $a, b, c$ không âm. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{(a - b)(13a + 5b)}{a^2 + b^2} + \dfrac{(b - c)(13b + 5c)}{b^2 + c^2} + \dfrac{(c - a)(13c + 5a)}{c^2 + a^2} \ge 0$$

Làm kiểu này chả biết đúng không
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$VT\geq \frac{(a-b)(13a+5b)+(b-c)(13b+5c)+(c-a)(13c+5a)}{a^2+b^2}$
$=\frac{8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2+b^2}\geq \frac{8(ab+bc+ac-ab-bc-ac)}{a^2+b^2}=0$
Trường hợp $a\geq c\geq b$ làm tương tự
$\to$ Q.E.D

[Tham Lang]

Sao ít người vào giải thế nhỉ
Tiếp tục với một số bài
Bài 141. Cho các số thực dương $x, y, z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$\dfrac{x^2y}{z^3} + \dfrac{y^2z}{x^3} + \dfrac{z^2x}{y^3} + \dfrac{13}{3(xy^2 + yz^2 + zx^2)}$$
Bài 142. Cho các số thực không âm thoả mãn :$a + b + c + 36abc = 2$. Tìm max của $P = a^7b^8c^9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 13-02-2012 - 23:40

[le_hoang1995]

Bài 142. Cho các số thực không âm thoả mãn :$a + b + c + 36abc = 2$. Tìm max của $P = a^7b^8c^9$

Ta có $2=a+\frac{2*b}{2}+\frac{3*c}{3}+\frac{6*36abc}{6}\geq 12\sqrt[12]{\frac{36^6*a^7*b^8*c^9}{2^2*3^3*6^6}}=12\sqrt[12]{432*P}\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{11^{12}*432}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{2}$

[Dont Cry]

Bài 143 : Cho $x,y,z$ thuộc khoang $(1/3,1)$ thoa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
Tìm GTNN của $P=x^2+y^2 +z^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dont Cry: 14-02-2012 - 12:22

[Ispectorgadget]

Bài 143 : Cho $x,y,z$ thuộc khoang $(1/3;1)$ thoa mãn $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$
Tìm GTNN của $P=x^2+y^2 +z^2$

Từ giả thiết ta có: $xy+xz+yz=2xyz+(x+y+z)-1$
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=(x+y+z)^2-4xyz-2(x+y+z)+2\geq $
$\frac{-4}{27}(x+y+z)^3+(x+y+z)^2-2(x+y+z)+2$
Đặt t = x+y+z với $t\in (1;3)$
P = $-\frac{4}{27}t^3+t^2-2t+2$
P' = $-\frac{4}{9}t^2+2t-2$
F'=0 $\Leftrightarrow t=3 \vee t=\frac{3}{2}$
Lập bảng biến thiên tìm được Min P =$\frac{3}{4}$ xảy ra khi t=$\frac{3}{2}$

[Ispectorgadget]

Bài 136. Với mọi số dương $a, b, c, d$ , chứng minh rằng :
$$\dfrac{b(a + c)}{c(a + b)} + \dfrac{c(b + d)}{d(b + c)} + \dfrac{d(c + a)}{a(c + d)} + \dfrac{a(d + b)}{b(d + a)} \ge 4$$

$VT=(a+c)[\frac{b}{c(a+b)}+\frac{d}{d(c+d)}]+(b+d)[\frac{c}{d(c+d)}+\frac{a}{b(d+a)}]$
$=(abc+abd+acd+bcd)[\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{c})}+\frac{\frac{1}{d}+\frac{1}{b}}{(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{a})}]$
Sử dụng Am-GM cho mẫu số ta có
\[
VT \ge (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}).[\frac{{4(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }} + \frac{{4(\frac{1}{b} + \frac{1}{d})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }}] = 4
\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=c; b=d

[Dont Cry]

Bài 144 : Cho $x,y,z>0$ tm : $x+2y+3z=3$ .Chứng minh BĐT :
$\dfrac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2} + \dfrac{297z^3-8y^3}{6zy+36z^2} + \dfrac{11x^3-27z^2}{3xz+4x^2}$ <=6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dont Cry: 15-02-2012 - 12:08

[Tham Lang]

Một đề bài ác thật. mình không mạnh về trình bày, nhưng may là ngồi hồi lâu vẫn ra kết quả
Bằng phép phân tích theo phương pháp thích hợp, ta chứng minh được rằng
$$\dfrac{88y^3 - x^3}{2xy + 16y^2} \le -x + 6y (1)$$
$$\dfrac{297z^3 - 8y^3}{6yz + 36z^2} \le -2y + 9z (2)$$
$$\dfrac{11x^3 - 27z^3}{3zx + 4x^2} \le -3z + 3x (3)$$
Từ $(1); (2); (3)$ suy ra
$$\dfrac{88y^3 - x^3}{2xy + 16y^2} + \dfrac{297z^3 - 8y^3}{6yz + 36z^2} + \dfrac{11x^3 - 27z^3}{3xz + 4x^2} \le (-x + 6y) + (-2y + 9z) + (-3z + 3x) = 2(x + 2y + 3z) = 6$$
Suy ra ĐPCM.Còn về việc có $(1), (2), (3)$ là thật hay không, mọi người hãy thử xem
Đề bài có một lỗi sai, mình đã làm theo đề được sửa.Chỗ sai là $\dfrac{297z^3 - 8y^3}{6yz + 36z^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 14-02-2012 - 23:11

[le_hoang1995]

Mình xin bổ sung chút ít theo bài làm của Huy.

Đặt $x=a,2y=b,3x=c$ ta cần chứng minh BĐT

$\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}+\frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2}+\frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2}$ với $a+b+c=3$

Làm tiếp như trên

Chứng minh $\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\leq 3b-a\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$ luôn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 14-02-2012 - 23:57

[Dont Cry]

Mình xin bổ sung chút ít theo bài làm của Huy.

Đặt $x=a,2y=b,3x=c$ ta cần chứng minh BĐT

$\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}+\frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2}+\frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2}$ với $a+b+c=3$

Làm tiếp như trên

Chứng minh $\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\leq 3b-a\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$ luôn đúng

bạn có thể chỉ bạn tìm ra phân số đó=< $3b-a$ như thế nào không còn việc CM thì dễ rồi.

[le_hoang1995]

bạn có thể chỉ bạn tìm ra phân số đó=< $3b-a$ như thế nào không còn việc CM thì dễ rồi.

Bài này của Huy làm mà, nhưng mình cũng xin trình bày 1 cách tìm như sau

Để ý dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ nên vai trò của a,b,c như nhau.

Do đó cần chứng minh $\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\leq m+na+pb$

Xây dựng tương tự rồi cộng lại, ta cần có $m+n+p=2$

Hay chứng minh $\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\leq 2-p-n+na+pb$

Quy đồng rồi rút gọn tử số thu được $a^3+(4p-11)b^3+na^2b+(4n+p)ab^2+(2-n-p)(ab+4b^2)$

Vì vai trò a,b như nhau nên ta cần hệ số của chúng cũng như nhau nên ra $p=3,n=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 15-02-2012 - 19:14

[Winner269]

Bài toán 132. Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng

( Nguồn gốc của anh Võ Quốc Bá Cẩn )

Sao không ai làm bài này vậy nhỉ. Mong các bạn cố gắng nha, bài này thực sự rất hay mà.