Chủ đề này có 12 trả lời

[Pham Truong Dinh]

$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$x+\sqrt{4-x^2}=2+3x\sqrt{4-x^2}$
$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$
giải nhanh giùm mình nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 05-07-2011 - 17:50

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề bài :
b, $x+\sqrt{4-x^2}=2+3x\sqrt{4-x^2} (1)$
Giải :
ĐK : $ 4 - x^2 \geq 0 \Leftrightarrow ( 2 - x)( 2 + x ) \geq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$
Đặt $ x+\sqrt{4-x^2} = S; x\sqrt{4-x^2}= P $
Ta có : $ S^2 = x^2 + 2x\sqrt{4 - x^2} + 4 - x^2 = 4 + 2P$
Mặt khác, ta thấy theo (1) $ \Rightarrow S =2 + 3P$
Thay $ S = 2 + 3P $ vào $ S^2 = 4 + 2P $, ta có phương trình :
$ ( 2 + 3P)^2 = 4 + 2P \Leftrightarrow 4 + 12P + 9P^2 = 4 + 2P$
$ \Leftrightarrow P( 9P + 10 ) = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} P = 0\\P = \dfrac{-10}{9}\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x\sqrt{4 - x^2} = 0\\x\sqrt{4 - x^2} = \dfrac{-10}{9}\end{array}\right.$
Với $ x\sqrt{4 - x^2} = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\x = \pm 2\end{array}\right.$.
Thử lại thấy chỉ có : $ x =0; x = 2$ thỏa mãn
Với $ x\sqrt{4 - x^2} = \dfrac{-10}{9} ( x < 0 ) \Rightarrow x^2( 4 - x^2) = \dfrac{100}{81} $
$ \Rightarrow x^4 - 4x^2 + \dfrac{100}{81} = 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{18 \pm 4\sqrt{14}}{9} $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{2 \pm \sqrt{14}}{3}\\x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{14}}{3}\end{array}\right.$
Do $ x \leq 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{2 -\sqrt{14}}{3}\\\dfrac{- 2 -\sqrt{14}}{3}\end{array}\right.$
Thử lại thấy $ x = \dfrac{-2 - \sqrt{14}}{3}$
Vậy phương tình có 3 nghiệm : $ x = 0; 2; \dfrac{-2 - \sqrt{14}}{3}$

[Pham Truong Dinh]

Thêm bài này nữa:

$\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{array}\right.$

[NguyThang khtn]

$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

ĐKXĐ: $x \geq 1$
ta có:
$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+8x+6}-4+\sqrt{x^2-1}=2(x-1)$
$ \Leftrightarrow\dfrac{(x+5)(x-1)}{ \sqrt{2x^2+8x+6}+4}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=2(x-1)$
$ \Rightarrow x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 02-07-2011 - 11:02

[caubeyeutoan2302]

ĐKXĐ: $x \geq 1$
ta có:
$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+8x+6}-4+\sqrt{x^2-1}=2(x-1)$
$ \Leftrightarrow\dfrac{(x+5)(x-1)}{ \sqrt{2x^2+8x+6}+4}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=2(x-1)$
$ \Rightarrow x=1$

Theo mình PT này vẫn còn 1 nghiệm nữa là -1
Thật vậy nếu xét các điều kiện để PT được xáx định thì :
$2(x+3)(x+1) \ge 0 $(1) và $x^2-1 \ge 0$(2)
Với yếu tố xác định thứ nhất ta dễ dàng nhận thấy là $x \ge -1 hay x \le -3 $, điều kiện xác định thứ 2 cho ta $x \ge 1 hay x \le -1 $
Kết hợp 2 yếu tố ta nhận thấy x=-1 , thử vào thấy thỏa nân đây là 1 nghiệm, sau đó đặt ĐK như bboy14crew rồi làm bình thường , tới đây có thể có nhiều cách làm khác nhau

[Pham Truong Dinh]

ĐKXĐ: $x \geq 1$
ta có:
$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{2x^2+8x+6}-4+\sqrt{x^2-1}=2(x-1)$
$ \Leftrightarrow\dfrac{(x+5)(x-1)}{ \sqrt{2x^2+8x+6}+4}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=2(x-1)$
$ \Rightarrow x=1$

cách nhân liên hợp này không ổn rồi, chỉ tìm được 1 nghiệm, trong khi đáp án là 3 nghiệm: 1,-1,-25/7. Đáp án nó chỉ ghi đáp số thui chứ không giải

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề bài :
a, $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
Giải :
ĐK : $ \left\{\begin{array}{l}2x^2+8x+6 \geq 0\\x^2 - 1 \geq 0\\2x + 2 \geq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2( x + 1 )( x + 3 ) \geq 0\\( x - 1 )( x + 1 ) \geq 0\\ x +1 \geq 0\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x \geq -1\\x \leq -3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l} x \geq 1\\x \leq -1\\ x \geq -1 \end{array}\right.\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 ™\\x \geq 1\end{array}\right.$
Ta có : Với $ x \geq 1$
$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{2( x + 1 )( x + 3 ) } + \sqrt{( x + 1 )( x - 1 )} = 2( \sqrt{x + 1})^2$
Chia hai vế cho $ \sqrt{x + 1} \neq 0 ( x \geq 1 ) $, phương trình tương đương:
$ \sqrt{2( x + 3 )} + \sqrt{x - 1} = 2\sqrt{x + 1}$
$ \Rightarrow 2( x + 3 ) + x - 1 + 2\sqrt{2( x + 3 )( x - 1 )} = 4( x + 1 )$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt{2( x + 3 )( x - 1 )} = x - 1 = \sqrt{x - 1}^2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{x - 1}( 2\sqrt{2( x + 3 )} - \sqrt{x - 1} ) = 0 $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = 0\\ 2\sqrt{2( x + 3 )} = \sqrt{x - 1}\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 ( TM)\\x = \dfrac{-25}{7}\end{array}\right.$
Do $ x \geq 1$ nên $ x = \dfrac{-25}{7}$ không thỏa mãn.
Vậy, phương trình có nghiệm $ x = \pm 1$
P/S : Bạn dùng máy tính thử lại thấy $ x = \dfrac{-25}{7}$ không thỏa mãn. Do vậy sách ghi đáp số sai.

[perfectstrong]

Thêm bài này nữa:

$\left\{\begin{array}{l}x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y\\y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x\end{array}\right.$

Hướng chính: Sử dụng bđt đánh giá

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} = x^2 + y} \\ {y + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = y^2 + x} \\\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x + y + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = x^2 + y^2 + x + y$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = x^2 + y^2 $

Mà:
$\dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} = \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)^2 + 8}}}} \le \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{8}}} = xy$

$ \Rightarrow \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} \le xy + xy = 2xy$

$ \Rightarrow x^2 + y^2 \le 2xy \Rightarrow \left( {x - y} \right)^2 \le 0 \Rightarrow \left( {x - y} \right)^2 = 0$

$ \Rightarrow (x;y)=(1;1)$

[caubeyeutoan2302]

Hướng chính: Sử dụng bđt đánh giá

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} = x^2 + y} \\ {y + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = y^2 + x} \\\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x + y + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = x^2 + y^2 + x + y$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} = x^2 + y^2 $

Mà:
$\dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} = \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)^2 + 8}}}} \le \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{8}}} = xy$

$ \Rightarrow \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2 - 2x + 9}}}} + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2 - 2y + 9}}}} \le xy + xy = 2xy$

$ \Rightarrow x^2 + y^2 \le 2xy \Rightarrow \left( {x - y} \right)^2 \le 0 \Rightarrow \left( {x - y} \right)^2 = 0$

$ \Rightarrow (x;y)=(1;1)$

Perfectstrong thiếu rồi , khi đã có x=y thế vào ta sẽ giải được tới 2 bộ nghiệm (1;1) và (0;0)

[NguyThang khtn]

Đặt :

$a \ = \ \sqrt[3]{x^2-2x+9} \ ; \ b \ = \ a \ = \ \sqrt[3]{y^2-2y+9}$

$\Rightarrow \ a^3 \ - \ b^3 \ = \ x^2-y^2-2x+2y$

Trừ vế theo vế 2 pt trên được pt:

$\Leftrightarrow \ 2xy.\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right)=x^2-y^2-2x+2y$

$\Leftrightarrow \ 2xy.\dfrac{b-a}{ab}=\left(a-b \right)\left(a^2+ab+b^2 \right)$

$\Leftrightarrow \ \left(a-b \right)\left(a^2+ab+b^2+\dfrac{2xy}{ab} \right) \ = \ 0$

Cách này cũng tạm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 02-07-2011 - 21:31

[perfectstrong]

Perfectstrong thiếu rồi , khi đã có x=y thế vào ta sẽ giải được tới 2 bộ nghiệm (1;1) và (0;0)

Không bạn à. Cái này phải xét riêng bộ nghiệm x=y=0.
Vì khi x=y là dấu = ở bpt cuối cùng xảy ra. Đồng thời dấu = ở $(x-1)^2 \geq 0;(y-1)^2 \geq 0$ cũng phải xảy ra.

[cnccnc1996]

Đề bài :
a, $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
Giải :
ĐK : $ \left\{\begin{array}{l}2x^2+8x+6 \geq 0\\x^2 - 1 \geq 0\\2x + 2 \geq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2( x + 1 )( x + 3 ) \geq 0\\( x - 1 )( x + 1 ) \geq 0\\ x +1 \geq 0\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x \geq -1\\x \leq -3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l} x \geq 1\\x \leq -1\\ x \geq -1 \end{array}\right.\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 ™\\x \geq 1\end{array}\right.$
Ta có : Với $ x \geq 1$
$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{2( x + 1 )( x + 3 ) } + \sqrt{( x + 1 )( x - 1 )} = 2( \sqrt{x + 1})^2$
Chia hai vế cho $ \sqrt{x + 1} \neq 0 ( x \geq 1 ) $, phương trình tương đương:
$ \sqrt{2( x + 3 )} + \sqrt{x - 1} = 2\sqrt{x + 1}$
$ \Rightarrow 2( x + 3 ) + x - 1 + 2\sqrt{2( x + 3 )( x - 1 )} = 4( x + 1 )$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt{2( x + 3 )( x - 1 )} = x - 1 = \sqrt{x - 1}^2$
$ \Leftrightarrow \sqrt{x - 1}( 2\sqrt{2( x + 3 )} - \sqrt{x - 1} ) = 0 $
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = 0\\ 2\sqrt{2( x + 3 )} = \sqrt{x - 1}\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 ( TM)\\x = \dfrac{-25}{7}\end{array}\right.$
Do $ x \geq 1$ nên $ x = \dfrac{-25}{7}$ không thỏa mãn.
Vậy, phương trình có nghiệm $ x = \pm 1$
P/S : Bạn dùng máy tính thử lại thấy $ x = \dfrac{-25}{7}$ không thỏa mãn. Do vậy sách ghi đáp số sai.

mjk chưa hiểu cách làm lắm.Nếu $x \geq 1$ thì sao nhận giá trị x=-1 được nữa, và khi chia 2 vế cho $\sqrt{x+1}$ nếu x=-1 thi sao chia được đây ?

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Không phải như vậy đâu, ĐKXĐ của bài toán này là x = -1 hoặc $ x \geq 1$.
Do vậy giá trị x = -1 nếu thử vào phương trình thấy đúng thì vẫn thỏa mãn đề bài.