Mình nêu cách cm phần thuận, các phần còn lại bạn tự làm nhé: (bài này rất dài và lộn xộn)
R là giao điểm của JF và (O) thì E,K,R thẳng hàng(do K là trực tâm và ER là đường cao
JFE)
Hạ O'L
JK.
JO'K cân tại O'
$\angle JEK=\dfrac{1}{2}\angle JO'K=\angle JO'L$
$\Rightarrow 90^o-\angle JEK=90^o-\angle JO'L \Rightarrow \angle O'JL=\angle EJR$
Lại có:
$JAMF:tgnt\Rightarrow \angle EJR=\angle EMA$
Dễ cm $\angle EMA=\angle RMO$ và LR là tiếp tuyến của (O).
Nên $RLMO:tgnt \Rightarrow \angle RLO=\angle RMO \Rightarrow \angle RLO=\angle O'JL$
Kết hợp LJ=LR thì $\vartriangle O'JL=\vartriangle OLR(g.c.g) \Rightarrow O'L=OR=OE:const$
Vậy O' thuộc đường thẳng song song và cách LQ một khoảng là OE không đổi.