6 replies to this topic

[cnccnc1996]

Câu 1:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn hệ thức a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=(1+\dfrac{3}{a})(1+\dfrac{3}{b})(1+\dfrac{3}{c})$
(trích của bác bboy114crew)
Câu 2. Cho a,b > 1 .Tìm Min:
$P= \dfrac{a^2}{b-1}+ \dfrac{b^2}{a-1} $
Câu 3. Cho x,y>0 và $x^2+ 2y^2= 1$. Tìm Max của x+y
Câu 4. Cho x>0 tìm Min N= $ \dfrac{x^3+2000}{x} $

[caubeyeutoan2302]

Câu 1:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn hệ thức a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=(1+\dfrac{3}{a})(1+\dfrac{3}{b})(1+\dfrac{3}{c})$
(trích của bác bboy114crew)
Câu 2. Cho a,b > 1 .Tìm Min:
$P= \dfrac{a^2}{b-1}+ \dfrac{b^2}{a-1} $
Câu 3. Cho x,y>0 và $x^2+ 2y^2= 1$. Tìm Max của x+y
Câu 4. Cho x>0 tìm Min N= $ \dfrac{x^3+2000}{x} $

Cho mình dùng vài BĐT cao cấp hơn tí :
Câu 3:Ta có theo BĐT Bunhiacopki
$P^2=(x+y)^2=(x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}y)^2 \le (x^2+2y^2)(1+\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$
Vậy max=x+y bằng căn 3/2 khi $ x^2+ 2y^2= 1$ và $x=2y$. Từ đây suy ra $ x=\dfrac{2}{\sqrt{6}},y=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
Câu 1:
Có thể dùng Holder hay Côsi đều ổn cả
Ta có theo BĐT Holder thì:
$P=(1+\dfrac{3}{a})(1+\dfrac{3}{b})(1+\dfrac{3}{c}) \ge (1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}})^3 \ge (1+\dfrac{3}{\dfrac{a+b+c}{3}})^3=64$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Edited by caubeyeutoan2302, 06-07-2011 - 13:27.

[Nguyễn Hoàng Nam]

Câu 4. Cho x>0 tìm Min N= $ \dfrac{x^3+2000}{x} $

Mình có cách này, không biết đúng hay sai, các bạn xem nhé ^^!

$ f(x)=\dfrac{x^3+2000}{x} $
$f'(x)=\dfrac{2x^3-2000}{x^2}$
$f'(x)=0 => x=10$
Ta tìm được $Minf(x)=300$ tại x=10. Done

[perfectstrong]

Mình có cách này, không biết đúng hay sai, các bạn xem nhé ^^!

$ f(x)=\dfrac{x^3+2000}{x} $
$f'(x)=\dfrac{2x^3-2000}{x^2}$
$f'(x)=0 \Rightarrow x=10$
Ta tìm được $Minf(x)=300$ tại x=10. Done

Anh dùng đạo hàm hơi mạnh tay r�ồi.

Cách THCS:
$N = \dfrac{{x^3 + 2000}}{x} = x^2 + \dfrac{{2000}}{x}$

$ = x^2 + \dfrac{{1000}}{x} + \dfrac{{1000}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{x^2 .\dfrac{{1000}}{x}.\dfrac{{1000}}{x}}} = 300$

$ \Rightarrow \min N = 300 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{{1000}}{x} \Leftrightarrow x = 10$

Bài 2:

$P \ge \dfrac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{{a + b - 2}} = \dfrac{{t^2 }}{{t - 2}} = y\left( {t > 2} \right)$
Tới đây dùng pp miền giá trị hàm số, tính được min của y từ đó suy ra
$minP =8 \Leftrightarrow t=4 \Leftrightarrow a=b=2$

Edited by perfectstrong, 06-07-2011 - 17:09.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 2. Cho a,b > 1 .Tìm Min:
$P= \dfrac{a^2}{b-1}+ \dfrac{b^2}{a-1} $
Giải :
Ta có $ a, b > 1 \Rightarrow b - 1, a - 1\geq 0 $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
$ (b - 1).1 \leq \dfrac{( b - 1 + 1 )^2}{4} = \dfrac{b^2}{4}$
$ (a - 1).1 \leq \dfrac{( a - 1 + 1 )^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$
$ \Rightarrow P= \dfrac{a^2}{b-1}+ \dfrac{b^2}{a-1} \geq \dfrac{a^2}{\dfrac{b^2}{4}} + \dfrac{b^2}{\dfrac{a^2}{4}} = 4( \dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2}) \geq 4.2 = 8$
Vậy $ min_P = 8 $. Dấu " = " xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a - 1 = 1\\b - 1 = 1\\ \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{b^2}{a^2}\end{array}\right. \Rightarrow a = b = 2$

[NguyThang khtn]

Câu 1:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn hệ thức a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=(1+\dfrac{3}{a})(1+\dfrac{3}{b})(1+\dfrac{3}{c})$
(trích của bác bboy114crew)

Câu này ko cần dùng holder đâu!
Dùng AM-GM đơn thuần được rùi!
và BĐT :$xy+yz+xz \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3} ; \sum \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{9}{x+y+z}$
Ta có:
$P=(1+\dfrac{3}{a})(1+\dfrac{3}{b})(1+\dfrac{3}{c})$
$ =1+ 9\sum \dfrac{1}{ab} + 3\sum \dfrac{1}{a} + \dfrac{27}{abc}$
$\geq 1+ \dfrac{81.3}{(a+b+c)^2} +\dfrac{9}{a+b+c}+ \dfrac{27}{(\dfrac{a+b+c}{3})^3}$

[GaoHu_F]

Thay các số 3 bằng a+b+c cũng đc. Và sau đó:
$ a+a+b+c \geq \sqrt[4]{a^2bc}$
...