Chủ đề này có 5 trả lời

[stuart clark]

if $a,b,c>0,a\neq b \neq c$, then prove that $\displaystyle\dfrac{a^2+1}{b+c}+\dfrac{b^2+1}{c+a}+\dfrac{c^2+1}{a+b}\geq 3$

[vietfrog]

if $a,b,c>0,a\neq b \neq c$, then prove that $\displaystyle\dfrac{a^2+1}{b+c}+\dfrac{b^2+1}{c+a}+\dfrac{c^2+1}{a+b}\geq 3$

I'm study English very bad!
Theo mình với ĐK $a \ne b \ne c$ thì chỉ gây khác biệt trong những bài T ìm Cực Trị thui ,những bài Chứng minh BĐT thức thế này theo m ình ta vẫn làm b ình thường.
(làm thế này chắc ai cũng biết )
Ta có:
$VT = \sum {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{b + c}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \sum {\dfrac{1}{{b + c}}} } } $
Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
$VT \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} + \dfrac{9}{{2(a + b + c)}} \ge 3$
Dấu = xảy ra khi $a = b = c = 1$ vì vậy dấu = không xảy ra.
Nhưng BĐT vẫn đúng!
Mong mọi người xem xét!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-07-2011 - 12:10

[hangochoanthien]

I'm study English very bad!
Theo mình với ĐK $a \ne b \ne c$ thì chỉ gây khác biệt trong những bài T ìm Cực Trị thui ,những bài Chứng minh BĐT thức thế này theo m ình ta vẫn làm b ình thường.
(làm thế này chắc ai cũng biết )
Ta có:
$VT = \sum {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{b + c}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \sum {\dfrac{1}{{b + c}}} } } $
Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:
$VT \ge \dfrac{{a + b + c}}{2} + \dfrac{9}{{2(a + b + c)}} \ge 3$
Dấu = xảy ra khi $a = b = c = 1$ vì vậy dấu = không xảy ra.
Nhưng BĐT vẫn đúng!
Mong mọi người xem xét!!

Cho em hỏi sao dấu bằng ko xảy ra???

[vietfrog]

Cho em hỏi sao dấu bằng ko xảy ra???

Vì ĐK $a \ne b \ne c$ đó bạn!
Mong mọi người góp ý!

[hangochoanthien]

if $a,b,c>0,a\neq b \neq c$, then prove that $\displaystyle\dfrac{a^2+1}{b+c}+\dfrac{b^2+1}{c+a}+\dfrac{c^2+1}{a+b}\geq 3$

Ta có $\dfrac{a^2+1}{b+c} \geq 2\dfrac{a}{b+c} $

Suy ra $\displaystyle\dfrac{a^2+1}{b+c}+\dfrac{b^2+1}{c+a}+\dfrac{c^2+1}{a+b}\geq 2(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a})$
Bất đẳng thức Nesbitt...........
Xong!
p/s
NHưng mà cực trị cũng đạt tại tâm.........thế làm sao cm BDT này????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 11-07-2011 - 14:52

[vietfrog]

Ta có $\dfrac{a^2+1}{b+c} \geq 2\dfrac{a}{b+c} $

Suy ra $\displaystyle\dfrac{a^2+1}{b+c}+\dfrac{b^2+1}{c+a}+\dfrac{c^2+1}{a+b}\geq 2(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a})$
Bất đẳng thức Nesbitt...........
Xong!
p/s
NHưng mà cực trị cũng đạt tại tâm.........thế làm sao cm BDT này????

Thì BDT này vẫn đúng nhưng không xảy ra dấu bằng thui mà ! Theo mình thì không ảnh hưởng gì với những bài CM Bất Đẳng Thức.
Cần Chứng minh : Lớn hơn hoặc Bằng mà. Lớn hơn là đã thỏa mãn rồi!