Chủ đề này có 5 trả lời

[kingyo]

Cho x²+y²+z²=3
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
A= x+y+z+xy+xz+yz

Cái này mình cũng có làm thử nhưng mà k bik đúng hay sai lại còn bí trường hợp thứ 2 nữa chớ. Mình sẽ giải theo cách mình thử mong mn xem xét:
Ta có: $x^2+y^2 \geq 2xy$
$x^2+z^2 \geq 2xz$
$y^2+z^2 \geq 2yz$
Suy ra: $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz$ hay$ xy+yz+xz \leq 3$
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Ta có: x²+y²+z²=3
Suy ra: (x+y+z)²=3+2(xy+yz+xz)
$ x+y+z= \pm \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} $
ĐK:$ 3+2(xy+xz+yz) \geq 0$ suy ra $xy+yz+xz \geq - \dfrac{3}{2}$

_Nếu $x+y+z = \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} $ thì:
A=x+y+z+xy+xz+yz= $ \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} +xy+yz+xz $
A_min khi xy+xz+yz= $ - \dfrac{3}{2}$
suy ra A_min= $ \sqrt{3-2.2/3} -3/2=-3/2$

A_max khi xy+xz+yz=3
suy ra: A_max= $ \sqrt{3+2.3} +3 =6 $
Khi đó: x=y=z=1

Còn trường hợp: _Nếu $ x+y+z=- \sqrt{3+2(xy+xz+yz)}$
thì mình k bik làm mong mn xem xét.

[vietfrog]

Cách của bạn hơi phức tạp.Có 1 bài tương tự ở đây http://diendantoanho...?...st&p=267584
Bài 1 đó bạn!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-07-2011 - 10:40

[kingyo]

Cách của bạn hơi phức tạp.Có 1 bài tương tự ở đây http://diendantoanho...?...st&p=267584
Bài 1 đó bạn!!

nhu vậy chỉ tìm dc min chứ có tìm dc max đâu!

[kingyo]

Mình thử làm theo cách bạn thì bị 1 mâu thuẫn:
Nhân 2 vế cho 2 ta dc:
2A= 2(x+y+z)+2xy+2xz+2yz+x²+y²+z²-3
2A=2(x+y+z)+(x+y+z)²-3
Đặt x+y+z=t, ta có:
2A=t²+2t-3
suy ra: A= $ \dfrac{(t+1)^2-4}{2} $
do đó: A_min=$ \dfrac{-4}{2}=-2$
Nhân 2 vế cho -2 ta dc:
-2A=-2(x+y+z)-2xy-2xz-2yz-x²-y²-z²+3
-2A=-2(x+y+z)-(x+y+z)²+3
Đặt (x+y+z)=t ta có:
-2A=-t²-2t+3
A=$ \dfrac{-(t+1)^2+4}{-2}$
Do đó:
A_max=$ \dfrac{4}{-2} =2$
hok bik sai chỗ nào hay k mà min=max
kết quả của thầy mình là max=6

[caubeyeutoan2302]

Đúng là max bằng 6 đấy bạn , mình gợi ý đây . Trước hết bạn chứng minh 2 bất đẳng thức quen thuộc sau nhé:
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)$ và$ 3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2$ ( 2 bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng vào bài toán ta có :
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow -3 \le x+y+z \le 3$
$3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow xy+yz+xz \le 3$
Vậy ta có $x+y+z+xy+yz+xz \le 3+3=6$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Góp ý :Đề nghị bạn không sử dụng ngôn ngữ chat và không viết tắt trong bài viết , đây là quy định chung của VMF đấy .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 10-07-2011 - 19:02

[vietfrog]

Không hề mâu thuẫn đâu bạn ạ. Việc quan trọng là bạn phải tìm được khoảng xác định của t ( theo cách của cậubéyêutoán đó)
Chúc bạn có nhiều cách giải hay!