Cho x2+y2+z2=3
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
A= x+y+z+xy+xz+yz
Cái này mình cũng có làm thử nhưng mà k bik đúng hay sai lại còn bí trường hợp thứ 2 nữa chớ. Mình sẽ giải theo cách mình thử mong mn xem xét:
Ta có: $x^2+y^2 \geq 2xy$
$x^2+z^2 \geq 2xz$
$y^2+z^2 \geq 2yz$
Suy ra: $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz$ hay$ xy+yz+xz \leq 3$
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Ta có: x2+y2+z2=3
Suy ra: (x+y+z)2=3+2(xy+yz+xz)
$ x+y+z= \pm \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} $
ĐK:$ 3+2(xy+xz+yz) \geq 0$ suy ra $xy+yz+xz \geq - \dfrac{3}{2}$
_Nếu $x+y+z = \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} $ thì:
A=x+y+z+xy+xz+yz= $ \sqrt{3+2(xy+yz+xz)} +xy+yz+xz $
Amin khi xy+xz+yz= $ - \dfrac{3}{2}$
suy ra Amin= $ \sqrt{3-2.2/3} -3/2=-3/2$
Amax khi xy+xz+yz=3
suy ra: Amax= $ \sqrt{3+2.3} +3 =6 $
Khi đó: x=y=z=1
Còn trường hợp: _Nếu $ x+y+z=- \sqrt{3+2(xy+xz+yz)}$
thì mình k bik làm mong mn xem xét.
Xem xét trường hợp 2 trong cách giải tìm cực trị
Bắt đầu bởi kingyo, 10-07-2011 - 10:20
#1
Đã gửi 10-07-2011 - 10:20
#2
Đã gửi 10-07-2011 - 10:36
Cách của bạn hơi phức tạp.Có 1 bài tương tự ở đây http://diendantoanho...?...st&p=267584
Bài 1 đó bạn!!
Bài 1 đó bạn!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-07-2011 - 10:40
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#3
Đã gửi 10-07-2011 - 16:43
Cách của bạn hơi phức tạp.Có 1 bài tương tự ở đây http://diendantoanho...?...st&p=267584
Bài 1 đó bạn!!
nhu vậy chỉ tìm dc min chứ có tìm dc max đâu!
#4
Đã gửi 10-07-2011 - 18:48
Mình thử làm theo cách bạn thì bị 1 mâu thuẫn:
Nhân 2 vế cho 2 ta dc:
2A= 2(x+y+z)+2xy+2xz+2yz+x2+y2+z2-3
2A=2(x+y+z)+(x+y+z)2-3
Đặt x+y+z=t, ta có:
2A=t2+2t-3
suy ra: A= $ \dfrac{(t+1)^2-4}{2} $
do đó: Amin=$ \dfrac{-4}{2}=-2$
Nhân 2 vế cho -2 ta dc:
-2A=-2(x+y+z)-2xy-2xz-2yz-x2-y2-z2+3
-2A=-2(x+y+z)-(x+y+z)2+3
Đặt (x+y+z)=t ta có:
-2A=-t2-2t+3
A=$ \dfrac{-(t+1)^2+4}{-2}$
Do đó:
Amax=$ \dfrac{4}{-2} =2$
hok bik sai chỗ nào hay k mà min=max
kết quả của thầy mình là max=6
Nhân 2 vế cho 2 ta dc:
2A= 2(x+y+z)+2xy+2xz+2yz+x2+y2+z2-3
2A=2(x+y+z)+(x+y+z)2-3
Đặt x+y+z=t, ta có:
2A=t2+2t-3
suy ra: A= $ \dfrac{(t+1)^2-4}{2} $
do đó: Amin=$ \dfrac{-4}{2}=-2$
Nhân 2 vế cho -2 ta dc:
-2A=-2(x+y+z)-2xy-2xz-2yz-x2-y2-z2+3
-2A=-2(x+y+z)-(x+y+z)2+3
Đặt (x+y+z)=t ta có:
-2A=-t2-2t+3
A=$ \dfrac{-(t+1)^2+4}{-2}$
Do đó:
Amax=$ \dfrac{4}{-2} =2$
hok bik sai chỗ nào hay k mà min=max
kết quả của thầy mình là max=6
#5
Đã gửi 10-07-2011 - 19:01
Đúng là max bằng 6 đấy bạn , mình gợi ý đây . Trước hết bạn chứng minh 2 bất đẳng thức quen thuộc sau nhé:
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)$ và$ 3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2$ ( 2 bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng vào bài toán ta có :
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow -3 \le x+y+z \le 3$
$3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow xy+yz+xz \le 3$
Vậy ta có $x+y+z+xy+yz+xz \le 3+3=6$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Góp ý :Đề nghị bạn không sử dụng ngôn ngữ chat và không viết tắt trong bài viết , đây là quy định chung của VMF đấy .
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)$ và$ 3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2$ ( 2 bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng vào bài toán ta có :
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow -3 \le x+y+z \le 3$
$3(xy+yz+xz) \le (x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)=9 \Leftrightarrow xy+yz+xz \le 3$
Vậy ta có $x+y+z+xy+yz+xz \le 3+3=6$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Góp ý :Đề nghị bạn không sử dụng ngôn ngữ chat và không viết tắt trong bài viết , đây là quy định chung của VMF đấy .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 10-07-2011 - 19:02
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
#6
Đã gửi 10-07-2011 - 20:07
Không hề mâu thuẫn đâu bạn ạ. Việc quan trọng là bạn phải tìm được khoảng xác định của t ( theo cách của cậubéyêutoán đó)
Chúc bạn có nhiều cách giải hay!
Chúc bạn có nhiều cách giải hay!
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh