Chủ đề này có 3 trả lời

[Lê Đỗ Thành Đạt]

C/m các bất đẳng thức sau:
1/$a^{3} + b^{3}\leq a^{4} + b^{4} $ với $a+b \geq 2$
2/$\dfrac{ x^{2} }{ y^{2} } + \dfrac{ y^{2} }{ x^{2} } + 4 \geq 3\left\( {\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}} \right\) $với x,y 0
3/$ab \geq a+b$ với a,b 2
4/$(ax + by)(ay + bx) \geq (a + b)^{2}xy $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-07-2011 - 23:09

[hangochoanthien]

C/m các bất đẳng thức sau:
1/]$a^{3} + b^{3}\leq a^{4} + b^{4} $ với $a+b \geq 2$
2/$\dfrac{ x^{2} }{ y^{2} } + \dfrac{ y^{2} }{ x^{2} } + 4 \geq 3\left\( {\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}} \right\) $với x,y 0
3/$ab \geq a+b$ với a,b 2
4/$(ax + by)(ay + bx) \geq (a + b)^{2}xy $

Câu 2 cơ bản đặt $\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}=a$
Câu 3 BĐt
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \leq 1$
điều này đúng giả sử a b
suy ra $\dfrac{1}{a} \leq \dfrac{1}{b}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \leq 2\dfrac{1}{b} \leq 1 $ (do b 2)
xong

[vietfrog]

Còn câu 1 và câu 4, mình xin phép làm:
Cấu 1:
Giả sử : $a > b \Rightarrow {a^3} > {b^3}$
Áp dụng BĐT Chebyshez cho 2 dãy :$a > b$ và ${a^3} > {b^3}$ ta có :

$2(a.{a^3} + b.{b^3}) \ge (a + b)({a^3} + {b^3}) \ge 2({a^3} + {b^3})$ ( do $(a + b) \ge 2$ )
$ \Rightarrow ({a^4} + {b^4}) \ge ({a^3} + {b^3})$

Câu 4:
Nhân tung ra là xong!
Chứng minh bằng biến đổi tương đương:
Khai triển ra ta có :
$\begin{array}{l}{x^2}ab + {y^2}ab \ge 2abxy\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\end{array}$
Được một điều luôn đúng nên BĐT được Chứng minh!

[perfectstrong]

Bài 1: có thể cm đơn giản như sau:
Xét hiệu
$(a^4+b^4)-(a^3+b^3)+2-(a+b)$
$=(a^4-a^3-a+1)+(b^4-b^3-b+1)$
$=(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)$
$=(a-1)^2((a+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4})+(b-1)^2((b+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}) \ge 0$
$\Rightarrow a^4+b^4-(a^3+b^3) \ge a+b-2 \ge 0 \Rightarrow Q.E.D$

p/s:đối với dạng toán bdt này: Cho $A \ge B$. CMR: $C \ge D$. Ta hãy thử cm $C-D+B-A \ge 0$