Chủ đề này có 297 trả lời

[Crystal]

Bài 88 : Giải hệ phương trình :
$ b ) \left\{\begin{matrix} {x^2+y^2=1 }\\{125y^5-125y^3+6\sqrt{15} =0 } \end{matrix}\right. $

Gợi ý:
Cách 1: * Thế $x$ từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta được ${x^4}{y^6} = \dfrac{{{{4.3}^3}}}{{{5^5}}}$.
* Áp dụng BĐT AM-GM cho các số $\dfrac{3}{2}{x^2};\dfrac{3}{2}{x^2};{y^2};{y^2};{y^2} \Rightarrow \dfrac{3}{2}{x^2} = {y^2}$ thay vào phương trình thứ nhất.

Cách 2: Đặt $t = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}y$ ta được phương trình ẩn $t$.

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{5};\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right);\,\left( { - \dfrac{{\sqrt {10} }}{5};\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$

[Zaraki]

Bài 93. Giải phương trình
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}=\sqrt{(2x-3)^2+2x-2}$$

[dark templar]

Bài này em nghĩ đưa về rút gọn tổng sau:
$$P_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sin{2^{k}x}}$$
Nhưng em chưa có ý tưởng để rút gọn tổng $P_{n}$

Theo yêu cầu của dark templar mình post lời giải bài 89.
Bài 89: Cho $x \ne k\dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}},\,\,k \in N,\,n \in {N^ + }$. Tính ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{2^i}}}{{tg\left( {{2^i}x} \right)\sin \left( {{2^i}x} \right)}}} $
Giải:

Ta có đẳng thức: ${T_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{\sin \left( {{2^i}x} \right)}}} = \cot gx - \cot g\left( {{2^n}x} \right)$

Nhận xét: ${\left[ {\dfrac{1}{{\sin \left( {{2^k}x} \right)}}} \right]^\prime } = \dfrac{{ - {2^k}}}{{tg\left( {{2^k}x} \right)\sin \left( {{2^k}x} \right)}}$. Vậy ${S_n} = - {\left( {{T_n}} \right)^\prime }$

Suy ra ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{{2^i}}}{{tg\left( {{2^i}x} \right)\sin \left( {{2^i}x} \right)}}} = - {\left[ {\cot gx - \cot g\left( {{2^n}x} \right)} \right]^\prime } = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{{2^n}}}{{{{\sin }^2}\left( {{2^n}x} \right)}}$

Anh thấy đó,cái quan trọng là em không biết rút gọn tổng $P_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sin{(2^{k}x)}}$ như thế nào đấy anh ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-10-2011 - 17:48

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 94 : Cho đa thức $ f(x)=x^3-3x-1 $ có 3 nghiêm $ a,b,c $ . Hãy tính :

$ S = \dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c} $

[Crystal]

Bài 94 : Cho đa thức $ f(x)=x^3-3x-1 $ có 3 nghiêm $ a,b,c $ . Hãy tính :

$ S = \dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c} $

Ta có: $S = \dfrac{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) + \left( {1 + b} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {1 - c} \right) + \left( {1 + c} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}$

=.......=

$ = \dfrac{{3 - \left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) + 3abc}}{{1 - \left( {a + b + c} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right) - abc}}$

Theo Viete, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 0\\
ab + bc + ca = - 3\\
abc = 1
\end{array} \right. \Rightarrow S = \dfrac{{3 + 3 + 3}}{{1 - 3 - 1}} = - 3$

[Zaraki]

Bài 93 có vẻ hard đó.
Bài 95. Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{matrix} &{{x}^{10}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}(x+{{y}^{2}})=3 \\ & {{y}^{10}}+\dfrac{{{y}^{6}}}{{{x}^{4}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{3}{{{x}^{5}}} \\ \end{matrix} \right.$$

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 96 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{matrix} { x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3} \\ {y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0 } \end{matrix}\right. $

[Didier]

pt $ \Leftrightarrow 2^{x}=7^{y}+1$
$ 7^{y}\equiv 1(mod3)$
$ \Leftrightarrow 7^{y}+1\equiv 2(mod3)$
$ \Leftrightarrow 2^{x}\equiv 2(mod3)$
$ \Leftrightarrow x=1$

Bài 90 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$ 2^{x}-1=7^{y} $

quả thật lời giải trên cuả mình sơ suất quá
$ x=0$$ y$ không có nghiệm
$ x=1$ thì $ y=0$
từ pt $ 2^{x}=7^{y}+1$
ta có $ x\geq 2$ thì $ 2^{x }\vdots 4\Rightarrow 7^{y}+1\vdots 4$
lại có $ 7^{y}\equiv (-1)^{y}(mod4)$
$ \Rightarrow 7^{y}+1\equiv (-1)^{y}+1(mod4)\Rightarrow$ y lẻ
$ y=2t+1(t\geq 0,t\in \mathbb{N})$
nếu$ x=3\Rightarrow y=1$
nếu $ x\geq 4\Rightarrow 2^{y}\vdots 16\Rightarrow 7^{y}+1\vdots 16$
mà $ 7^{y}+1=7^{2t+1}+1=49^{t}7\equiv 7(mod16)\Rightarrow 7^{y}+1\equiv 8(mod16)\not\equiv 0(mod16)\Rightarrow$ vô lí
vậy pt trên chỉ có nghiệm $ (x,y)=(1,0)=(3,1)$

[Crystal]

Bài 96 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{matrix} { x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3} \\ {y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0 } \end{matrix}\right. $ (1)

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy + \dfrac{{3xy - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3y\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
xy - \dfrac{{{x^2} + 3xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.$

$(2) + (3) \Rightarrow 2xy - 1 = 3y \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{{2y}}$ thay vào một trong hai phương trình của hệ rồi giải.

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right),\,\,\,\left( {1; - 1} \right)$.

Có thể giải theo số phức: Đặt $z = x + yi$. Nhân phương trình thứ hai với $i$ rồi cộng hai vế phương trình của hệ ta được phương trình bậc 2 theo $z$.

[thangthan]

Bài toán 80 : Cho tập $ S= {P_1;P_2;p_3;...;P_k} $ gồm $ k $số nguyên tố phân biệt, và $f (x)$
là đa thức với hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $n$ đều tồn tại $P_i$
trong $S$ sao cho $P_i | f (n)$ . Chứng minh rằng tồn tại $i$ sao cho $P_i | f (n),n \forall N^*$ .

Giả sử ko phải thế,suy ra với mỗi số $p_i$ đều tồn tại $n_i$ mà $f(n_i)$ ko chia hết cho $p_i$.
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa thì tồn tại n mà $f(n)=f(n_i) (mod p_i)$ với mọi i từ 1 đến k.Suy ra $f(n)$ ko chia hết cho $p_i$ với mọi i,vô lý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangthan: 15-10-2011 - 09:42

[thangthan]

Bài 17: Thay $ y=0 $ , ta có: $ f(x).f(0)=f(x) \Rightarrow f(x)=0 $ hoặc $ f(0)=1 $
TH $ f(0) =1 $ , Ta thay $ x=0 $ vào hàm ta được $ f(y)=f(y) $ nghĩa là f đơn ánh .
Lại có :
$ f(x).f(y)=f(y).f(x)=f(y+xf(y)) \Rightarrow f(y+xf(y))=f(x+yf(x)) $ Do hàm f đơn ánh nên suy ra:
$ y+xf(y)=x+yf(x) \Leftrightarrow (1-f(y))x=y(1-f(x)) $ , suy ra $ x|1-f(x) $ hoặc $ 1-f(x)|x $
TH: $ 1-f(x)|x \Rightarrow f(x)$ có dạng $ ax+1(a>0) $
TH $ x|1-f(x) \Rightarrow 1-f(x)=x^kQ(x) (k \geq 2, Q(x) \neq 0) $ suy ra:
$ x^{k-1}Q(x)=y^{k-1}Q(y) $ (Vô lí )
Thử lại thấy 2 đa thức $ f(x)=0 $ và $ f(x)=ax +1(a>0) $ Đều thỏa mãn.
$ \Rightarrow dpcm $
P/s : Bài viết còn nhiều sai sót mong mọi người góp ý .

Bài này bạn giải gần như sai toàn bộ!
Thứ nhất:Tập các số thực dương ko chứa số 0 mà bạn thay số 0 vào.
Thứ 2:f ở đây là 1 hàm số chứ ko phải là đa thức.
Mình xin giải lại như sau:
Nếu tồn tại $x>0$ mà $f(x)<1$.Xét$ y=\dfrac{x}{1-f(x)}$ thì từ pt suy ra f(x)=1,vô lý
Vậy $f(x)\geq 1$ với mọi x>0.suy ra $f(x+yf(x))\geq f(x)$ với mọi x,y>0.Suy ra f là hàm ko giảm.
1) Nếu tồn tại a mà $f(a)=1$.Thay $x=y=a$ vào pt ban đầu ta có $f(2a)=1$,suy ra $f(2^na)=1$ với mọi n.
Mà f ko giảm nên$ f(x)=1$ với mọi x.
2)Nếu $f(x)>1$ với mọi x,suy ra f là hàm tăng thực sự.
Đảo x,y cho nhau trong pt suy ra $f(x+yf(x))=f(y+xf(y))$ suy ra $x+yf(x)=y+xf(y)$ với mọi $x,y$.
Suy ra $g(x)=\dfrac{f(x)-1}{x}=c$ là 1 hằng số.Thử lại suy ra $c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangthan: 15-10-2011 - 10:06

[Crystal]

Bài 97: Xác định tất cả các hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn:
$$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {2x} \right) = f\left( {\sin \left( {\dfrac{{\pi x}}{2} + \dfrac{{\pi y}}{2}} \right)} \right) + f\left( {\sin \left( {\dfrac{{\pi x}}{2} - \dfrac{{\pi y}}{2}} \right)} \right)\\
f\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)\,
\end{array} \right.\,\,\,\forall x,y \in R$$

[thangthan]

Bài 97 có vấn đề gì chăng?Chỉ cần điều kiện thứ nhất là có thể giải được rồi.Thật vậy:
Cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0.$
Cho $x=y$ suy ra $f(2x)=f(sin\pi x) (1)$
Cho $x=0,y$ bởi 2y suy ra $f(sin \pi y)+f(sin(-\pi y)=0$.Kết hợp (1) suy ra f là hàm lẻ.
Cho x thuộc R,thay y bởi 2-x suy ra $f(2x)=f(\pi)+f(\pi x-\pi)=-f(sin\pi x)$
Kết hợp (1) suy ra f(x)=0 với mọi x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangthan: 16-10-2011 - 15:39

[Crystal]

Bài 97 có vấn đề gì chăng?Chỉ cần điều kiện thứ nhất là có thể giải được rồi.Thật vậy:
Cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0.$
Cho $x=y$ suy ra $f(2x)=f(sin\pi x) (1)$
Cho $x=0,y$ bởi 2y suy ra $f(sin \pi y)+f(sin(-\pi y)=0$.Kết hợp (1) suy ra f là hàm lẻ.
Cho x thuộc R,thay y bởi 2-x suy ra $f(2x)=f(\pi)+f(\pi x-\pi)=-f(sin\pi x)$
Kết hợp (1) suy ra f(x)=0 với mọi x

Bài này không có vấn đề gì đâu bạn. Mặc dù kết quả của bạn là đúng nhưng cách lập luận không chính xác. Hàm $f$ không thể là hàm lẻ.

[thangthan]

Sao laị ko phải hàm lẻ?Ở cái chỗ kết hợp (1) ta suy ra $f(2y)+f(-2y)=0$ với mọi y đấy thôi.

[Crystal]

Sao laị ko phải hàm lẻ?Ở cái chỗ kết hợp (1) ta suy ra $f(2y)+f(-2y)=0$ với mọi y đấy thôi.

Thì bạn xem lại lời giải đi chứ. Bạn đã nhầm ở đâu đó.

[thangthan]

Mình ko thấy nhầm ở đâu cả.Nếu bạn thấy thì chỉ giúp mình.Thank.

[Crystal]

Bài 66:
Cho $a,b,c,d \in \left[ {0,1} \right]$ .
Tìm Min:
$P = (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) + a + b + c + d$

Ta sẽ chứng minh $P = \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + a + b + c + d \ge 1$

Thật vậy, cố định $b,c,d$ xét hàm bậc nhất:
$$f\left( a \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + a + b + c + d - 1\,\,,\,\,\forall a \in \left[ {0;1} \right]$$

$$f\left( 1 \right) = b + c + d \ge 0$$

$$f\left( 0 \right) = \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + b + c + d - 1$$

Cố định $c,d$ xét:
$$f\left( b \right) = \left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + b + c + d - 1\,,\,\,\,\forall b \in \left[ {0;1} \right]$$

$$f\left( 1 \right) = c + d \ge 0$$

$$f\left( 0 \right) = \left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) + c + d - 1 = cd \ge 0$$

$$ \Rightarrow f\left( b \right) \ge 0\,\,\forall b \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( a \right) \ge 0\,\,\,\forall a \in \left[ {0;1} \right]$$

hay $P \ge 1$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} P = 1 \Leftrightarrow a = b = c = d = 0$.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 98 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{matrix} { 27x^3y^3+125=9y^3} \\ { 45x^2y+75x=6y^2 } \end{matrix}\right. $

[Crystal]

Bài 98 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{matrix} { 27x^3y^3+125=9y^3} \\ { 45x^2y+75x=6y^2 } \end{matrix}\right. $ (1)

$y=0$ không là nghiệm. Khi đó xét $y \ne 0$

$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
27{x^3} + \dfrac{{125}}{{{y^3}}} = 9\\
45\dfrac{{{x^2}}}{y} + 75\dfrac{x}{{{y^2}}} = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3x} \right)^3} + {\left( {\dfrac{5}{y}} \right)^3} = 9\\
3x.\dfrac{5}{y}\left( {3x + \dfrac{5}{y}} \right) = 6
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

Đặt: $$u = 3x + \dfrac{5}{y},\,\,v = 3x.\dfrac{5}{y} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u^3} - 3uv = 9\\
uv = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u^3} = 27\\
uv = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 3\\
v = 2
\end{array} \right.$$

Khi đó: $$\left\{ \begin{array}{l}
3x + \dfrac{5}{y} = 3\\
3x.\dfrac{5}{y} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3x = 2\\
\dfrac{5}{y} = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
3x = 1\\
\dfrac{5}{y} = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2}{3}\\
y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
y = \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$$

Vậy HPT đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{2}{3};5} \right),\,\,\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2}} \right)$.