Chủ đề này có 297 trả lời

[dark templar]

Góp 1 bài cho vui tý vậy
Bài 75: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ là số chính phương.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Góp 1 bài cho vui tý vậy
Bài 75: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ là số chính phương.

Thử tí xem sao :
Ta có $ n^4+6n^3+11n^2+3n+31 > n^4+6n^3+9n^2=(n^2+3n)^2 $. Và :
$ n^4+6n^3+11n^2+3n+31 < (n^2+3n+6)^2 $. Do đó :
$ n^4+6n^3+11n^2+3n+31= (n^2+3n+a)^2 ; a\in [1;5], a \in \mathbb{N} $.
$ \Leftrightarrow 2(a-1)n^2+(6a-3)n+a^2-31=0 ; a\in [1;5];a \in \mathbb{N} $.
Với $ a=1 \Rightarrow n=10 $. Với $ a=2,3,4,5 $. đều không có giá trị n thỏa
Do vậy $ n=10$ là giá trị cần tìm .

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 76 : Tìm chữ số tận cùng của $ 7^{7^7} $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 77: Một Bất đẳng thức đẹp . Cho $ a,b,c $ là các số dương . Chứng minh rằng:
$ (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3})^\dfrac{1}{2} \leq ( \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3})^\dfrac{1}{3} $

[CD13]

Bài 77: Một Bất đẳng thức đẹp . Cho $ a,b,c $ là các số dương . Chứng minh rằng:
$ (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3})^\dfrac{1}{2} \leq ( \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3})^\dfrac{1}{3} $

Không phải BĐT này chính là $3(a^3+b^3+c^3)^2 \ge (a^2+b^2+c^2)^3$ sao?

[alex_hoang]

Không phải BĐT này chính là $3(a^3+b^3+c^3)^2 \ge (a^2+b^2+c^2)^3$ sao?

Và không phải nó là hệ quả trực tiếp của hoder sao?

[Zaraki]

Bài 76 : Tìm chữ số tận cùng của $ 7^{7^7} $

Nhận thấy $7^2 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow 7^7 \equiv 3 \pmod{4}$.
$7^{7^7}=7^{4k+3}=(7^4)^k.7^3 \equiv 3 \pmod{10}$.
Vậy $7^{7^7}$ tận cùng là $\fbox{3}$.

P/s: Một bài mở rộng.

Chứng minh rằng

$7^{7^{7^7}}-7^{7^7} \ \vdots \ 100$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 13-09-2011 - 17:25

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 78 : Giải các phương trình :
1 )$ 3^x+5^x = 2.4^x $
2) $ (1+x)(2+4^x)=3.4^x $

[lethanhtam_dt]

Bài 10 : Giải phương trình sau :
$ (x^2+x+4)^2+3x(x^2+x+4)+2x^2=0 $
Bài 11 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}{2x+x^2y=y}\\{2y+y^2z=z}\\{2z+z^2x=x}\end{array}\right. $

10): xem $(x^2+x+4)$ là ẩn ta được:
$(x^2+x+4)=-x;$
$(x^2+x+4)=-2x;$

[vietfrog]

Bài 78 : Giải các phương trình :
1 )$ 3^x+5^x = 2.4^x $

Bài làm

Phương trình tương đương: ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} - 2 = 0$
Xét :$f(x) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} - 2$
Dễ dàng tính được: $f''(x) = {\ln ^2}\left( {\frac{3}{4}} \right).{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\ln ^2}\left( {\frac{5}{4}} \right).{\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} > 0$
Theo Định lý Roll, phương trình $f(x) = 0$ sẽ có tối đa 2 nghiệm
Dễ thấy $x=0,x=1$ là nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=0,x=1$.

P/s: Ngoài ra có thể dùng Định lý Lagrange

[Zaraki]

Bài 79 Chứng minh rằng không tồn tại $x,y,z$ nguyên nào thỏa mãn
$$19^x+5^y+1890z=1975^{4^{30}}+1993$$

[go out]

Bài 79 Chứng minh rằng không tồn tại $x,y,z$ nguyên nào thỏa mãn
$$19^x+5^y+1890z=1975^{4^{30}}+1993$$

VP chia 5 dư 1 or dư 4
VP ch ia 5 dư 3
=> ptvn.
p/s: Phiên bản mới nhìn giống web Tuoi thơ quá... Khó nhìn, khó sử dụng. Trời sinh sao để vậy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi go out: 21-09-2011 - 20:28

[Zaraki]

Anh go out có thể trình bày rõ hơn được không ?

[go out]

Nhận xét:
VT: $5^y + 1980z ^{_{$ chia hết cho 5 . Do đó VT đồng dư với $19^x$ mod 5
hay vế trái chia 5 dư 1 hoặc dư 4
Vế phải chia 5 dư 3
Ở trên anh đánh nhầm VT thành VP thôi, sr...
Chán, gõ mệt khiếp, xóa chữ cũng mất thời gian, mong BQT trả về hình hài cũ... Giao diện mới không phù hợp với lứa tuổi cũng như vẻ trang nghiêm của một diễn đàn lớn.}}

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài toán 80 : Cho tập $ S= {P_1;P_2;p_3;...;P_k} $ gồm $ k $số nguyên tố phân biệt, và $f (x)$
là đa thức với hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $n$ đều tồn tại $P_i$
trong $S$ sao cho $P_i | f (n)$ . Chứng minh rằng tồn tại $i$ sao cho $P_i | f (n),n \forall N^*$ .

[Crystal]

Lâu rồi không được lên VMF. Nay có cơ hội ghé thăm VMF thấy lạ quá . Giờ mình xin góp 1 bài.
Bài toán 81: Giải các phương trình:
1/ $\sqrt[3]{{\dfrac{{2x}}{{x + 1}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2x}}}} = 2$

2/ $2{x^2} + \sqrt {1 - x} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1$

[Crystal]

Bài 78 : Giải các phương trình :
1 )$ 3^x+5^x = 2.4^x $
2) $ (1+x)(2+4^x)=3.4^x $

Bài 2:
$PT \Leftrightarrow \dfrac{{{{3.4}^x}}}{{2 + {4^x}}} - x - 1 = 0$
Đặt: $f\left( x \right) = \dfrac{{{{3.4}^x}}}{{2 + {4^x}}} - x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{6\ln {{4.4}^x}}}{{{{\left( {2 + {4^x}} \right)}^2}}} - 1$
$ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6\ln {4.4^x} = {\left( {2 + {4^x}} \right)^2}$
Đây là pphuowng trình bậc 2 theo ${4^x}$ nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Rolle phương trình $f\left( x \right) = 0$ có không quá 3 nghiệm.
Lại có: $f\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( 1 \right) = 0$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là $x \in \left\{ {0;\dfrac{1}{2};1} \right\}$.

[dark templar]

Góp vui cho Lâm
Bài 82:Cho dãy $\{S_n \}:S_4=1;S_{m+1}=1.(m-2)+2(m-3)+3(m-4)+...+(m-2)(m \ge 4)$.Tính $S_{n}$

[Crystal]

$P=x^2+y^2-xy=3-2xy$

$3+xy=(x+y)^2 \in [0;4] \Rightarrow -3 \le xy \le 1$

$1 \le P \le 9$

$\min P=1 \Leftrightarrow x=y=1;\max P=9 \Leftrightarrow (x;y)=(-\sqrt{3};\sqrt{3});(\sqrt{3};-\sqrt{3})$

1 cách...
Ta viết lại điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2 - a\\{x^2} + {y^2} + xy = 3\end{array} \right.\,,a \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2 - a\\xy = {\left( {2 - a} \right)^2} - 3\end{array} \right.$

Điều kiện $\exists \left( {x;y} \right):\,0 \le a \le 4$

Khi đó: $P = 9 - 2{\left( {a - 2} \right)^2}$

$maxP = 9 \Leftrightarrow a = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\xy = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt 3 \\y = \mp \sqrt 3\end{array} \right.$

$minP = 1 \Leftrightarrow a = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$.

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Lâu rồi không được lên VMF. Nay có cơ hội ghé thăm VMF thấy lạ quá . Giờ mình xin góp 1 bài.
Bài toán 81: Giải các phương trình:
1/ $\sqrt[3]{{\dfrac{{2x}}{{x + 1}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2x}}}} = 2$

2/ $2{x^2} + \sqrt {1 - x} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1$

mình chém bài 81.1

$ PT \leftrightarrow \sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{2x}} =2 $
vì $ \dfrac{2x}{x+1} và \dfrac{x+1}{2x} $ luôn cùng dấu nên $ VT \geq 2 =VP $
dấu = xảy ra khi x=1
xong