Chủ đề này có 1 trả lời

[N H Tu prince]

cho biểu thức
$P=( \dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ):\( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$
với $x\in R$ và $x \geq0,x \neq 4$
1.Rút gọn $P$
2.Tìm giá trị của x để $P=4$
3.tìm giá trị nhỏ nhất của $P$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề bài : Cho biểu thức
$P=( \dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ) : ( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$
với $x\in R$ và $x \geq0, x \neq 4$
1. Rút gọn $P$
2. Tìm giá trị của x để $P=4$
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$
Giải:
a, Ta có :
$\dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 }$

$ = \dfrac{x - \sqrt{x}}{( \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}) - ( 2\sqrt{x} + 2 )} + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 }$

$ = \dfrac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} ( \sqrt{x} + 1) - 2(\sqrt{x} + 1 )} + \dfrac{4( \sqrt{x} + 1 )}{ (\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 ) }$

$ = \dfrac{x - \sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 ) }$

$ = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4 }{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 )}$

Mặt khác :
$ \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} - 5}{x - \sqrt{x}-2 } $

$ = \dfrac{ \sqrt{x}+ 1 + 1 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} - 2 - 3}{x- \sqrt{x}-2 } $

$ = 1 +\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - ( 1 - \dfrac{3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )})$

$ = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )} + \dfrac{3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )}$

$ = \dfrac{\sqrt{x} - 2 + 3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )} = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$

Do đó :
$P = ( \dfrac{x - \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ) : ( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$

$ P = [\dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4 }{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 )}] : [\dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}]$

$ P = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 }$
b, Với mọi $ x \geq 0, x \neq 4$, ta có :
$ P = 4 \Leftrightarrow \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 } = 4 $

$\Leftrightarrow x + 3\sqrt{x} + 4 = 4\sqrt{x} + 4 $

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} = 0$

$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\x = 1\end{array}\right.$
c, Ta có :
$ P = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 } = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 2 + 2}{\sqrt{x} + 1}$

$ P = \dfrac{( \sqrt{x} + 2 )( \sqrt{x} + 1 ) + 2}{\sqrt{x} + 1}$

$P = \sqrt{x} + 2 + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} + 1$

ÁP dụng BĐT Côsi cho hai số dương. Ta có:

$ P \geq 2\sqrt{(\sqrt{x} + 1).\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}} + 1 = 1 + 2\sqrt{2}$

Vậy $ min_P = 1 + 2\sqrt{2}$. Dấu ì = ” xảy ra khi :
$ \sqrt{x} + 1 = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} \Rightarrow x + 2\sqrt{x} + 1 = 2$
Giải ra thấy : $ \sqrt{x} = \sqrt{2} - 1 \Rightarrow x = 3 - 2\sqrt{2}$
P/S : Những bài rút gọn kiểu này nên tự làm lấy nha !!!! À mà mình làm ở phần rút gọn khá dài bởi vì mình rút gọn từng phần. Nếu bạn muốn rút gọn ngắn hơn thì có thể kết hợp các bước của 2 phần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 22-07-2011 - 15:22