cho biểu thức
$P=( \dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ):\( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$
với $x\in R$ và $x \geq0,x \neq 4$
1.Rút gọn $P$
2.Tìm giá trị của x để $P=4$
3.tìm giá trị nhỏ nhất của $P$
một biểu thức khó
Bắt đầu bởi N H Tu prince, 22-07-2011 - 13:31
#2
Đã gửi 22-07-2011 - 15:20
Đề bài : Cho biểu thức
$P=( \dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ) : ( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$
với $x\in R$ và $x \geq0, x \neq 4$
1. Rút gọn $P$
2. Tìm giá trị của x để $P=4$
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$
Giải:
a, Ta có :
$\dfrac{x- \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 }$
$ = \dfrac{x - \sqrt{x}}{( \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}) - ( 2\sqrt{x} + 2 )} + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 }$
$ = \dfrac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} ( \sqrt{x} + 1) - 2(\sqrt{x} + 1 )} + \dfrac{4( \sqrt{x} + 1 )}{ (\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 ) }$
$ = \dfrac{x - \sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 ) }$
$ = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4 }{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 )}$
Mặt khác :
$ \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} - 5}{x - \sqrt{x}-2 } $
$ = \dfrac{ \sqrt{x}+ 1 + 1 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} - 2 - 3}{x- \sqrt{x}-2 } $
$ = 1 +\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - ( 1 - \dfrac{3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )})$
$ = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )} + \dfrac{3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )}$
$ = \dfrac{\sqrt{x} - 2 + 3}{( \sqrt{x} + 1 )( \sqrt{x} - 2 )} = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$
Do đó :
$P = ( \dfrac{x - \sqrt{x} }{x- \sqrt{x}-2 } + \dfrac{4}{ \sqrt{x}-2 } ) : ( \dfrac{ \sqrt{x}+2 }{ \sqrt{x}+1 } - \dfrac{x- \sqrt{x} -5}{x- \sqrt{x}-2 } )$
$ P = [\dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4 }{(\sqrt{x} - 2)( \sqrt{x} + 1 )}] : [\dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}]$
$ P = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 }$
b, Với mọi $ x \geq 0, x \neq 4$, ta có :
$ P = 4 \Leftrightarrow \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 } = 4 $
$\Leftrightarrow x + 3\sqrt{x} + 4 = 4\sqrt{x} + 4 $
$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} = 0$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\x = 1\end{array}\right.$
c, Ta có :
$ P = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}+ 1 } = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + 2 + 2}{\sqrt{x} + 1}$
$ P = \dfrac{( \sqrt{x} + 2 )( \sqrt{x} + 1 ) + 2}{\sqrt{x} + 1}$
$P = \sqrt{x} + 2 + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} + 1$
ÁP dụng BĐT Côsi cho hai số dương. Ta có:
$ P \geq 2\sqrt{(\sqrt{x} + 1).\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}} + 1 = 1 + 2\sqrt{2}$
Vậy $ min_P = 1 + 2\sqrt{2}$. Dấu ì = ” xảy ra khi :
$ \sqrt{x} + 1 = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} \Rightarrow x + 2\sqrt{x} + 1 = 2$
Giải ra thấy : $ \sqrt{x} = \sqrt{2} - 1 \Rightarrow x = 3 - 2\sqrt{2}$
P/S : Những bài rút gọn kiểu này nên tự làm lấy nha !!!! À mà mình làm ở phần rút gọn khá dài bởi vì mình rút gọn từng phần. Nếu bạn muốn rút gọn ngắn hơn thì có thể kết hợp các bước của 2 phần.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 22-07-2011 - 15:22
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh