Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyễn Hoàng Nam]

Cho các số x,y,z dương thỏa mãn: $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{x^3+y^3}{x+y}+\dfrac{y^3+z^3}{y+z}+\dfrac{z^3+x^3}{x+z}+\dfrac{6}{x+y+z} \geq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 23-07-2011 - 11:46

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Cho các số x,y,z dương thỏa mãn: $xyz=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{x^3+y^3}{x+y}+\dfrac{y^3+z^3}{y+z}+\dfrac{z^3+x^3}{x+z}+\dfrac{6}{a+b+c} \geq 5$

BĐt trên tương đương với :
$ 2\sum x^2- \sum xy +\dfrac{6}{xy+yz+xz} \geq 5 $
$ \Leftrightarrow \sum x^2 +\dfrac{1}{2}\sum (x-y)^2 +\dfrac{6}{xy+yz+xz} \ge 5 $
$ VT \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3} +\dfrac {6}{xy+yz+xz}$
$ \Leftrightarrow VT \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{9}+(\dfrac{2(x+y+z)^2}{9}+\dfrac{6}{x+y+z}) $
áp dụng 1 loạt bđt Cauchy là ra .
Hãy thử sức với bài này nhé :
cho $ xyz=1 $ Cmr :
$ \dfrac{x^3+y^3}{x+y}+\dfrac{y^3+z^3}{y+z}+\dfrac{z^3+x^3}{x+z} \geq \dfrac{9}{x+y+z} $

[Didier]

BĐt trên tương đương với :
$ 2\sum x^2- \sum xy +\dfrac{6}{xy+yz+xz} \geq 5 $
$ \Leftrightarrow \sum x^2 +\dfrac{1}{2}\sum (x-y)^2 +\dfrac{6}{xy+yz+xz} \ge 5 $
$ VT \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3} +\dfrac {6}{xy+yz+xz}$
$ \Leftrightarrow VT \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{9}+(\dfrac{2(x+y+z)^2}{9}+\dfrac{6}{x+y+z}) $
áp dụng 1 loạt bđt Cauchy là ra .
Hãy thử sức với bài này nhé :
cho $ xyz=1 $ Cmr :
$ \dfrac{x^3+y^3}{x+y}+\dfrac{y^3+z^3}{y+z}+\dfrac{z^3+x^3}{x+z} \geq \dfrac{9}{x+y+z} $

bài của anh Lâm thì làm như lúc đầu sau đến doạn cuối thì cm
$ \dfrac{(x+y+z)^2}{3} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$bằng cách dừng AM-GM là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 24-07-2011 - 08:43