Chủ đề này có 2 trả lời

[Lê Đỗ Thành Đạt]

Giải các phương trình sau:

1/$\sqrt{\ x^{2} - \dfrac{60}{ x^{2} } }$ + $\sqrt{x - \dfrac{60}{ x^{2} } }$= x
2/x - $\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}$ = 1 - $\sqrt{x}$
3/$\sqrt{x + x^{2} }$ + $\sqrt{x - x^{2} }$ = x+1
4/$\dfrac{3+ \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{ x^{2} + \sqrt{5} } }$ - $\dfrac{3 - \sqrt{5} }{\sqrt{2} - \sqrt{ x^{2} - \sqrt{5} } }$ =0
Xin các anh(chị) và các bạn giúp đỡ.Cảm ơn anh(chị) và các bạn rất nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Đỗ Thành Đạt: 24-07-2011 - 20:52

[Phạm Hữu Bảo Chung]

2, $ x - \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} = 1 - \sqrt{x} $
3, $\sqrt{x + x^{2} }+ \sqrt{x - x^{2} } = x+1$
Giải :
2, ĐK : $ x \geq 0$
Ta có :

$x - \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} = 1 - \sqrt{x}$

$ \Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 1 - \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} = 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}^3 - \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} = 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}( \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}^2 - 1 ) = 0$

$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}(\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}- 1)(\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} + 1) = 0$

$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}= 0\\\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1}= 1\\\sqrt[3]{x + \sqrt{x} - 1} = - 1\end{array}\right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra : $x + \sqrt{x} - 1 = 0$

$ \Leftrightarrow x - 1 = - \sqrt{x} \leq 0$

$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x - 1 \leq 0\\( x - 1 )^2 = (-\sqrt{x})^2\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 1\\x^2 - 3x + 1 = 0\end{array}\right.$

Giải phương trình bậc hai vừa tìm được, ta được hai nghiệm:
$x_{1, 2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}$.
Kết hợp với điều kiện $ x \leq 1$, ta nhận giá trị :
$ x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Từ phương trình thứ hai của hệ, suy ra : $x + \sqrt{x} - 1 = 1$

$ \Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow ( \sqrt{x} + 2 )( \sqrt{x} - 1 ) = 0$
Ta có : $ \sqrt{x} + 2 > 0 $. Do đó chỉ có $ \sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Từ phương trình thứ ba của hệ, ta có : $x + \sqrt{x} - 1 = - 1$
Giải phương trình thấy có một nghiệm $ x = 0 (tm)$.
Vậy phương trình có 3 nghiệm: $ x = 0; 1; \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$

3, $\sqrt{x + x^{2} }+ \sqrt{x - x^{2} }= x+1$
ĐK : $ \left\{\begin{array}{l}x + x^2 \geq 0\\x - x^2 \geq 0\\x + 1 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x ( x + 1 ) \geq 0 \\ x - 1 ) \leq 0\\x \geq - 1 \end{array}\right.$

$ \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$

Cách 1 : Ta có : $\sqrt{x + x^{2} }+ \sqrt{x - x^{2} }= x+1$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt{x + x^{2} }+ 2\sqrt{x - x^{2} }= 2x + 2$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt{x + x^2} + 2\sqrt{x - x^2} = x + x^2 + x - x^2 + 2$

$ \Leftrightarrow (x + x^2 - 2\sqrt{x + x^2} + 1 ) + ( x - x^2 - 2\sqrt{x - x^2} + 1 ) = 0$

$ \Leftrightarrow (\sqrt{x + x^2}^2 - 2\sqrt{x + x^2} + 1 ) + ( \sqrt{x - x^2}^2 - 2\sqrt{x - x^2} + 1 ) = 0$

$ \Leftrightarrow ( \sqrt{x + x^2} - 1)^2 + ( \sqrt{x - x^2} - 1 )^2 = 0$

$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x + x^2} - 1 = 0\\\sqrt{x - x^2} - 1\end{array}\right.$

$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + x = 1\\x - x^2 = 1\end{array}\right.$

Phương trình $x - x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = 0$ vô nghiệm. Do đó hệ vô nghiệm. Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

Cách 2 : Ta có : $ a + b \leq \sqrt{2( a^2 + b^2)}$ với a, b không âm.
( Bình phương hai vế rồi biến đổi để chứng minh )
Áp dụng BĐT trên với $ a = \sqrt{x + x^{2} } ; b = \sqrt{x - x^{2} }$
Ta có : $VT = \sqrt{x + x^{2} } + \sqrt{x - x^{2} } \leq \sqrt{2( x + x^2 + x - x^2 )} = \sqrt{2.2x} = 2\sqrt{x}$

Mặt khác, ta lại có : $ 2\sqrt{x} \leq x + 1$. Do đó : $ VT \leq VF$.
Dấu ì = ” xảy ra khi : $ \left\{\begin{array}{l}x- x^2 = x + x^2\\x + 1 = 2\sqrt{x}\\ 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$

$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x^2 = 0\\( \sqrt{x} - 1 )^2\\ 0 \leq x \leq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\ \leq x \leq 1\end{array}\right.$.
Dấu ì = ” không thể xảy ra. Do đó phương trình vô nghiệm.

[Lê Đỗ Thành Đạt]

Cảm ơn anh rất nhiều.