Chủ đề này có 10 trả lời

[tranphongk33]

Cho $x, y, z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.
Cmr:
$x^2.y+y^2.x+y^2.z+z^2.y+x^2.z+z^2.x\leq6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-07-2011 - 10:29

[tranphongk33]

Cho x, y, z >=0 thỏa mãn x+y+z=3.
Cmr:
$x^2.y+y^2.x+y^2.z+z^2.y+x^2.z+z^2.x\leq6$

Bài bđt này xuất phát từ bài cm sau:
"Cho x, y, z >=0 thỏa mãn x+y+z=3.
Cmr:
$x^2y+y^2z+z^2x\leq4$"

Sau khi cm xong thì mình thấy nếu hoán vị nó lại $xy^2+yz^2+zx^2\leq4$thì cách cm vẫn hok thay đổi.
nhưng nếu cộng chúng lại với nhau thì lại là một vấn đề khác chúng lại <=6. Mình đã thử cm bđt này bằng dồn biến nhưng hok có kết quả gì???
Các bạn hãy cho mình một hướng giải quyết! Cám ơn rất nhìu.

[alex_hoang]

Bài bđt này xuất phát từ bài cm sau:
"Cho x, y, z >=0 thỏa mãn x+y+z=3.
Cmr:
$x^2y+y^2z+z^2x\leq4$"

Sau khi cm xong thì mình thấy nếu hoán vị nó lại $xy^2+yz^2+zx^2\leq4$thì cách cm vẫn hok thay đổi.
nhưng nếu cộng chúng lại với nhau thì lại là một vấn đề khác chúng lại <=6. Mình đã thử cm bđt này bằng d�ồn biến nhưng hok có kết quả gì???
Các bạn hãy cho mình một hướng giải quyết! Cám ơn rất nhìu.

Mình viết lại bài toán trên ở dạng đơn giản và theo mình là dễ dàng hơn nhiều các bạn chém thử
Cho các số thực không âm $x,y,z$ sao cho $x+y+z=3$.CMR
$2 + xyz \ge xy + yz + zx$

thì ra bài này có ở đây
http://www.artofprob...v...51&t=420085

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-07-2011 - 10:29

[tranphongk33]

Thì ra bài này có ở đây
http://www.artofprob...v...51&t=420085

Chưa có lời giải thực sự đâu bạn àk! Tất cả vẫn đang mù mờ...

[dark templar]

Bài bđt này xuất phát từ bài cm sau:
"Cho x, y, z >=0 thỏa mãn x+y+z=3.
Cmr:
$x^2y+y^2z+z^2x\leq4$"

Sau khi cm xong thì mình thấy nếu hoán vị nó lại $xy^2+yz^2+zx^2\leq4$thì cách cm vẫn hok thay đổi.
nhưng nếu cộng chúng lại với nhau thì lại là một vấn đề khác chúng lại <=6. Mình đã thử cm bđt này bằng dồn biến nhưng hok có kết quả gì???
Các bạn hãy cho mình một hướng giải quyết! Cám ơn rất nhìu.

Bạn thử để ý dấu bằng xảy ra trong 2 BĐT đi nhé Bài ở trên đầu topic,dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$,trong khi đó bài của bạn xảy ra khi $x=0;y=2;z=1$ hoặc các hoán vị tương ứng. Đó cũng chính là lý do vì sao bạn làm không ra kết quả.

[tranphongk33]

Bạn thử để ý dấu bằng xảy ra trong 2 BĐT đi nhé Bài ở trên đầu topic,dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$,trong khi đó bài của bạn xảy ra khi $x=0;y=2;z=1$ hoặc các hoán vị tương ứng. Đó cũng chính là lý do vì sao bạn làm không ra kết quả.

Nếu xét dấu bằng thì khác nhau thật, nhưng chỉ cần thỏa mãn điều kiện của bđt thì sẽ luôn đúng, và dấu bằng của bđt hok chỉ xảy ra khi $x=y=z=1$! bạn hãy kiểm tra thử nhe, còn trường hợp khác mà dấu bằng xảy ra nữa.
Bài toán này lúc đầu mình thấy có vẻ rất đơn giản, nhưng khi bắt tay vào làm thì lại thấy khó wá...

[dark templar]

Nếu xét dấu bằng thì khác nhau thật, nhưng chỉ cần thỏa mãn điều kiện của bđt thì sẽ luôn đúng, và dấu bằng của bđt hok chỉ xảy ra khi $x=y=z=1$! bạn hãy kiểm tra thử nhe, còn trường hợp khác mà dấu bằng xảy ra nữa.
Bài toán này lúc đầu mình thấy có vẻ rất đơn giản, nhưng khi bắt tay vào làm thì lại thấy khó wá...

Bạn thử giải theo $p,q,r$ kết hợp với BĐT Schur chưa ?

[tranphongk33]

Bạn thử giải theo $p,q,r$ kết hợp với BĐT Schur chưa ?

Mình đã thử giải bằng dồn biến sau khi đã rút gọn bđt đơn giản hơn nhưng hok có kq, còn p, q, r thật sự mình hok rành lắm vì mục đích của mình vẫn chủ yếu là
những bđt cổ điển.

[tranphongk33]

Cho $x, y, z \ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.
Cmr:
$x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\leq6$

Xin lỗi các bạn, mình đã được một cao thủ chỉ giáo là bđt đúng fải là:
$x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\leq {\dfrac {27}{4}}$
Các bạn thảo luận nhen! thankz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphongk33: 26-07-2011 - 12:11

[hoangduc]

He he, chén được bài này rồi .

Giả sử $z=min(x,y,z) $. Khi đó $z\le 1$

BĐT cần cm tương đương với:
$xy(3-z)+yz(3-z)+zx(3-y)\le \dfrac{27}{4} $

$\Leftrightarrow xy+yz+zx-xyz \le \dfrac{9}{4} $

$\Leftrightarrow z(3-z)+xy(1-z)\le \dfrac{9}{4} $

Do $z\le 1 $ nên $xy(1-z)\le \dfrac{(x+y)^2(1-z)}{4}=\dfrac{(3-z)^2(1-z)}{4} $

Do đó ta chỉ cần cm:
$-z^2+3z+\dfrac{(3-z)^2(1-z)}{4}\le \dfrac{9}{4} $

$\Leftrightarrow z(z^2-3z+3)\ge 0$ (đúng)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{3}{2},z=0 $ và các hoán vị.

[wallunint]

Mình viết lại bài toán trên ở dạng đơn giản và theo mình là dễ dàng hơn nhiều các bạn chém thử
Cho các số thực không âm $x,y,z$ sao cho $x+y+z=3$.CMR
$2 + xyz \ge xy + yz + zx$

thì ra bài này có ở đây
http://www.artofprob...v...51&t=420085

Chào các bạn
Bài toán này có thể dễ dàng áp dụng bất đẳng thức Schur để chứng minh Mời các bạn thử chứng minh bài toán khá giống như sau:
Cho các số thực không âm $x,y,z$ sao cho $x^2+y^2+z^2=3$.CMR
$2 + xyz \ge xy + yz + zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 30-07-2011 - 20:56