Chủ đề này có 7 trả lời

[dark templar]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$xyz=1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$

[alex_hoang]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$xyz=1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$

Bất đẳng thức sau mạnh hơn và vẫn đúng
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2}$

[hgly]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$xyz=1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$

, năm nay em lên lớp 10, chém thử.
http://i948.photobuc...pg?t=1311685060
P/s: Em dùng ảnh , chưa biết gõ Latex :">

[alex_hoang]

, năm nay em lên lớp 10, chém thử.
http://i948.photobuc...pg?t=1311685060
P/s: Em dùng ảnh , chưa biết gõ Latex :">

Như vậy bài của dark tương đương với bài IMO 2001 nhưng bài mà mình nêu thì chưa chác đã đơn giản thế đâu

[dark templar]

Như vậy bài của dark tương đương với bài IMO 2001 nhưng bài mà mình nêu thì chưa chác đã đơn giản thế đâu

Bạn có thể nêu lời giải cho bài trên không Mình khá hứng thú với nó.
P/s:Mà bạn đừng tạo 1 lúc quá nhiều topic trong box này nhé,như vầy sẽ làm loãng forum đó.Thân.

[alex_hoang]

Bạn có thể nêu lời giải cho bài trên không Mình khá hứng thú với nó.
P/s:Mà bạn đừng tạo 1 lúc quá nhiều topic trong box này nhé,như vầy sẽ làm loãng forum đó.Thân.

Đặt $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{z}{x},c = \dfrac{y}{z},$
Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bây giờ ta chuẩn hóa x+y+z=1 và giả sử x=min{x,y,z}
Dễ thấy
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }}$
Ta sẽ chứng minh
$\dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }} \ge \dfrac{3}{2}$
Nhưng bất đẳng thức này tương đương với
$4{(x + y + z)^3} \ge 27({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + xyz)$
Hay là
$9x({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz) + (4y + z - 5x){(x + y - 2z)^2} \ge 0$
Vậy bài toán được chứng minh

[dark templar]

Đặt $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{z}{x},c = \dfrac{y}{z},$
Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bây giờ ta chuẩn hóa $x+y+z=1$ và giả sử $x=\min \{x,y,z \}$
Dễ thấy
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }}$
Ta sẽ chứng minh
$\dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }} \ge \dfrac{3}{2}$
Nhưng bất đẳng thức này tương đương với
$4{(x + y + z)^3} \ge 27({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + xyz)$
Hay là
$9x({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz) + (4y + z - 5x){(x + y - 2z)^2} \ge 0$
Vậy bài toán được chứng minh

Vậy ra bài này là hệ quả của BĐT Vasc àh ? Lời giải khá ấn tượng đấy

[alex_hoang]

Ngoài ra $0 \le k \le 3,k \ge 8$
thì bất đẳng thức sau đúng
$\sqrt {\dfrac{x}{{y + k}}} + \sqrt {\dfrac{y}{{z + k}}} + \sqrt {\dfrac{z}{{x + k}}} \ge \dfrac{3}{{\sqrt {k + 1} }}$