$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$
BĐT Hoán vị 3 biến đẹp
#1
Đã gửi 26-07-2011 - 11:27
#2
Đã gửi 26-07-2011 - 17:02
Bất đẳng thức sau mạnh hơn và vẫn đúngCho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$xyz=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2}$
#3
Đã gửi 26-07-2011 - 20:03
, năm nay em lên lớp 10, chém thử.Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$xyz=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{\dfrac{x}{y+8}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+8}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+8}} \ge 1$
http://i948.photobuc...pg?t=1311685060
P/s: Em dùng ảnh , chưa biết gõ Latex :">
#4
Đã gửi 26-07-2011 - 21:50
Như vậy bài của dark tương đương với bài IMO 2001 nhưng bài mà mình nêu thì chưa chác đã đơn giản thế đâu, năm nay em lên lớp 10, chém thử.
http://i948.photobuc...pg?t=1311685060
P/s: Em dùng ảnh , chưa biết gõ Latex :">
#5
Đã gửi 27-07-2011 - 10:40
Bạn có thể nêu lời giải cho bài trên không Mình khá hứng thú với nó.Như vậy bài của dark tương đương với bài IMO 2001 nhưng bài mà mình nêu thì chưa chác đã đơn giản thế đâu
P/s:Mà bạn đừng tạo 1 lúc quá nhiều topic trong box này nhé,như vầy sẽ làm loãng forum đó.Thân.
#6
Đã gửi 27-07-2011 - 11:04
Đặt $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{z}{x},c = \dfrac{y}{z},$Bạn có thể nêu lời giải cho bài trên không Mình khá hứng thú với nó.
P/s:Mà bạn đừng tạo 1 lúc quá nhiều topic trong box này nhé,như vầy sẽ làm loãng forum đó.Thân.
Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bây giờ ta chuẩn hóa x+y+z=1 và giả sử x=min{x,y,z}
Dễ thấy
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }}$
Ta sẽ chứng minh
$\dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }} \ge \dfrac{3}{2}$
Nhưng bất đẳng thức này tương đương với
$4{(x + y + z)^3} \ge 27({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + xyz)$
Hay là
$9x({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz) + (4y + z - 5x){(x + y - 2z)^2} \ge 0$
Vậy bài toán được chứng minh
#7
Đã gửi 27-07-2011 - 11:14
Vậy ra bài này là hệ quả của BĐT Vasc àh ? Lời giải khá ấn tượng đấyĐặt $a = \dfrac{x}{y},b = \dfrac{z}{x},c = \dfrac{y}{z},$
Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sqrt {\dfrac{a}{{b + 3}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + 3}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + 3}}} \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bây giờ ta chuẩn hóa $x+y+z=1$ và giả sử $x=\min \{x,y,z \}$
Dễ thấy
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{x}{{\sqrt {yz + 3xy} }}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }}$
Ta sẽ chứng minh
$\dfrac{1}{{\sqrt {3xyz + 3({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x)} }} \ge \dfrac{3}{2}$
Nhưng bất đẳng thức này tương đương với
$4{(x + y + z)^3} \ge 27({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + xyz)$
Hay là
$9x({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz) + (4y + z - 5x){(x + y - 2z)^2} \ge 0$
Vậy bài toán được chứng minh
#8
Đã gửi 27-07-2011 - 13:33
thì bất đẳng thức sau đúng
$\sqrt {\dfrac{x}{{y + k}}} + \sqrt {\dfrac{y}{{z + k}}} + \sqrt {\dfrac{z}{{x + k}}} \ge \dfrac{3}{{\sqrt {k + 1} }}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh