Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenbao8ekyanh]

1.Giải bất phương trình: $|(x+3)(x-1)|-2|x-1| < x^2 -7 $
2.Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x\sqrt y + 2y\sqrt x = 3x\sqrt {2x - 1} \hfill \\ y\sqrt x + 2x\sqrt y = 3y\sqrt {2y - 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-07-2011 - 18:02

[Phạm Hữu Bảo Chung]

1, Giải bất phương trình: $|(x+3)(x-1)|-2|x-1| < x^2 -7 $
2, Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x\sqrt y + 2y\sqrt x = 3x\sqrt{2x - 1} \hfill \\ y\sqrt x + 2x\sqrt y = 3y\sqrt {2y - 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Giải :
1, Giải bằng phương pháp thông thường.
Với : $ x < - 3$. Bất phương trình trở thành :
$( - x - 3 )(1 - x) - 2( 1 - x ) < x^2 - 7$

$ \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 - 2 + 2x < x^2 - 7 \Lefrightarrow 4x < - 2$

$ \Rightarrow x < \dfrac{- 1}{2}$
Vậy bất phương trình có nghiệm x < - 3
Với $ - 3 \leq x \leq 1$. Bất phương trình trở thành :
$( x + 3 )( 1 - x ) - 2( 1 - x ) < x^2 - 7 $

$ \Leftrightarrow -x^2 - 2x + 3 - 2 + 2x < x^2 - 7 \Rightarrow 2x^2 > 8$

$\Rightarrow x^2 > 4 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x > 2\\x < - 2\end{array}\right.$

Kết hợp với giả thiết. Suy ra bất phương trình có nghiệm : $-3 \leq x < - 2$
Với x > 1. Bất phương trình trở thành :
$( x + 3 )( x - 1 ) - 2( x - 1 ) < x^2 - 7$

$ \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 - 2x + 2 < x^2 - 7 \Rightarrow - 1 < - 7$.
Vô nghiệm.
Vậy bất phương trình có nghiệm : $x < - 2$

2, ĐK : $ x, y \geq \dfrac{1}{2}$
Không mất tính tổng quát, giả sử : $ x > y $
Suy ra, $ 3x\sqrt{2x - 1} > 3y\sqrt{2y - 1} $.
$ \Rightarrow x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x} > y\sqrt{x} + 2x\sqrt{y}$

$ \Leftrightarrow -x \sqrt{y} + y\sqrt{x} > 0 $

$ \Leftrightarrow \sqrt{xy}( \sqrt{y} - \sqrt{x}) > 0$

Do $ \sqrt{xy} > 0$ nên để : $ \sqrt{xy}( \sqrt{y} - \sqrt{x}) > 0$ thì
$ \sqrt{y} - \sqrt{x} > 0$
$ \Rightarrow \sqrt{y} > \sqrt{x} \Rightarrow y > x$.
Điều giả sử là x > y, trái ngược với y > x. Do đó không tồn tại x > y thỏa mãn hệ phương trình,
Tương tự với trường hợp y > x.
Suy ra x = y. Thay vào hệ phương trình, ta có :
$ x\sqrt{x} + 2x\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x - 1}$

$ \Leftrightarrow 3x\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x - 1}$

Do $ x \geq \dfrac{1}{2} $, chia hai vế cho 3x. Phương trình trở thành :
$ \sqrt{x} = \sqrt{2x - 1} \Rightarrow x = 2x - 1$
$ \Rightarrow x = 1(tm) \Rightarrow y = 1(tm)$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : $ (x; y ) = ( 1; 1 )$