Chủ đề này có 3 trả lời

[Khải Hoàn]

a,b,c >0, CMR
$ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 30-10-2011 - 00:31

[khanh3570883]

a,b,c >0, CMR
$ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \ge \sqrt{ab}$

Mình nghĩ phải là thế này:
$ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$
Khi đó nó là một bất đẳng thức đơn giản, chỉ cần dùng Minkowski.

[conlocsanco]

Dùng phương pháp đặt ẩn
Đặt a-c=x nen a=x+c
b-c=y va b=c+y
$2\sqrt {cx.cy} + \left( {cx + cy} \right) \le \left( {c^2 + xy} \right) + \left( {cx + cy} \right) = \left( {c + x} \right)\left( {c + y} \right)$

$\left( {\sqrt {cx} + \sqrt {cy} } \right)^2 \le \left( {c + x} \right)\left( {c + y} \right)$

thay tro lai:

$\sqrt {c\left( {a - c} \right)} + \sqrt {c\left( {b - c} \right)} \le \sqrt {ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conlocsanco: 28-07-2011 - 21:52

[NguyThang khtn]

a,b,c >0, CMR
$ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \ge \sqrt{ab}(1)$

Bái này mình đếm sơ sơ cũng có 6 hay 7 cách:
Mình xin chém vài cách:
1)Phân tích bình phưong
2) Đặt :$a=c(x+1);b=c(y+1)$
Ta có BĐT tương đương với:
$\sqrt{c^2x} + \sqrt{c^2y} \leq c\sqrt{(x+)(y+1)} \Leftrightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{(x+)(y+1)}$
$ \Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)&2 \geq 0 $
3) $(1) \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}} + \sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \ge 1$
Theo AM-GM:
$ \sqrt{\dfrac{c(a-c)}{ab}} + \sqrt{\dfrac{c(b-c)}{ab}} \ge \dfrac{1}{2}(\dfrac{c}{b}+\dfrac{(a-c)}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b})=1$
Những cách còn lại mời mọi người chém!