Chủ đề này có 4 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Tồn tại hay không $2$ dãy số nguyên dương đơn điệu tăng $ \{ a_n \}_{n \ge 1} ; \{ b_n \}_{n\ge 1}$ thỏa mãn :

$ a_n ( a_n +1) | b^2_n +1 \ \ \forall n \in \mathbb{N^{*}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 01-08-2011 - 12:27

[Peter Pan]

Bài Toán :

Tồn tại hay không $2$ dãy số nguyên dương đơn điệu tăng $ \{ a_n \}_{n \ge 1} ; \{ b_n \}_{n\ge 1}$ thỏa mãn :

$ a_n ( a_n +1) | b^2_n +1 \ \ \forall n \in \mathbb{N^{*}}$

Làm thử , chả biết đúng không
xét phương trình:
$ka(a+1)=b^2+1 \Leftrightarrow (2b)^2-k(2a+1)^2=-k-4 \Leftrightarrow x^2-ky^2=-(k+4)$ , $(k \in \mathbb{Z}$
đây là dạng mở rộng của pt Pell, và ta luôn có thể chọn vô hạn giá trị nguyên dương $k$ để pt có ngiệm, nếu pt có nghiệm khởi đầu $(x_1,y_1)$ thì theo công tức nghiệm của pt Pell thì :
$x_{n+1}=x_1.x_n+k.y_1x_{n-1}$
$y_{n+1}=y_1y_n+x_1y_{n-1}$
ta được $(x_{n+1},y_{n+1})$ cũng là một nghiệm và $x_n<x_{n+1},y_n<y_{n+1}$
vì ta đã đặt $2a+1=y,2b=x$ mà dãy $\{y_n\},\{x_n\}$ tăng nên dãy $\{a_n\},\{b_n\}$ tăng
vậy tồn tại hai dãy thỏa mãn đề bài

[linh2]

nhầm rồi bạn bạn thử tính lại xem x_{n+1} với y_{n+1} có thỏa mãn ko

[tuan101293]

xét dãy $p_n\in P$ là dãy các số nguyên tố tăng mà $p_n\equiv 1(mod 4)$ (dãy này vô hạn)
hiển nhiên mọi ước số của $p_n^2+1$ cũng thuộc dãy $p_n$ (mọi ước nguyên tố của $x^2+1$ ko có dạng 4k+3)
giả sử ta đã chọn đến $a_{n-1},b_{n-1}$ (luôn chọn dc số đầu,VD $a_1=1,b_1=1$
chọn $a_n=p_k^2+1$ với k đủ lớn để $a_n>b_{n-1}$
và ta chú ý rằng -1 là SCP mod $p_n$ với mọi n
ta phân tích $a_n*(a_n+1)$ ra thành tích các thừa số nguyên tố (toàn các số thuộc dãy $p_n$)

chú ý -1 là SCP mod p thì -1 là SCP mod $p^k$ với k thuộc N
nên -1 là SCP mod $a_n(a_n+1)$ hay tồn tại $b_n$ để $a_n(a_n+1)|b_n^2+1$
hiển nhiên $b_n>a_n>b_{n-1}$
suy ra ta chọn được $a_n,b_n$ tm
theo quy nạp suy ra đPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 17-08-2011 - 09:03

[thangthan]

Bài Toán :

Tồn tại hay không $2$ dãy số nguyên dương đơn điệu tăng $ \{ a_n \}_{n \ge 1} ; \{ b_n \}_{n\ge 1}$ thỏa mãn :

$ a_n ( a_n +1) | b^2_n +1 \ \ \forall n \in \mathbb{N^{*}}$

Mình vừa nghĩ bài này đêm qua,cuối cùng cũng tìm ra 1 lời giải thấy tương đối ưng ý

Xét dãy ${x_k},{y_k}$ như sau:
$x_1=y_1=3,$
$x_{k+1}=9x_k+8y_k;y_{k+1}=10x_k+9y_k$
Dễ thấy $x_k,y_k$ là các dãy tăng.
Ta có $5x_{k+1}^2-4y_{k+1}^2=5(9x_k+8y_k)^2-4(10x_k+9y_k)^2=5x_k^2-4y_k^2=...=5x_1^2-4y_1^2=9$
Bây giờ xét $a_k = \dfrac{x_k -1}{2},b_k =y_k $ thì $(b_k)^2 +1 = (y_k)^2 +1 = \dfrac{5(x^2_k - 1)}{4}=5a_k. (a_k + 1)$
Suy ra dpcm.

@ Supermember :

Chưa kiểm tra kĩ ; nhưng nếu lời giải này đúng thì nó rất tuyệt vời đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-08-2011 - 12:37