Chủ đề này có 4 trả lời

[alex_hoang]

Phương trình Pell là một phần rất hay và khó của toán học phổ thông nó xuất hiện trong các kì thi Olimpic dưới nhiều hình thức khác nhau và chính vì thế việc tập hợp lại những bài toán đó thành một file là cần thiết mình lập ra topic này mong các bạn đóng góp những bài toán là ứng dụng của phương trình Pell mà các bạn biết(các bạn nên ghi rõ nguồn) để trao đổi và tổng hợp thành một tài liệu bổ ích của diễn đàn.Vì mục đích của topic này là tuyeent tập các bài toán xung quanh phương trình Pell nên các bạn post bài nên có lời giải trong tay và đưa ra lời giải trong vòng 2 đến 3 ngày nếu vẫn chưa có mem nào làm được.Mong các bạn giúp đỡ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 05-08-2011 - 01:16

[alex_hoang]

Bài 1(THTT-2001)Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
${x^3} + {y^3} + {z^3} + {t^3} = 2{S^3} - 1$
Trong đó$ S $là tổng của n số nguyên dương đầu tiên

[nguyenta98]

Bài 1(THTT-2001)Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
${x^3} + {y^3} + {z^3} + {t^3} = 2{S^3} - 1$
Trong đó$ S $là tổng của n số nguyên dương đầu tiên

Giải như sau:
Chọn $x=S-r,y=S+r,z=-(l+1),t=l$
Khi ấy $x^3+y^3+z^3+t^3=2S^3-1 \Leftrightarrow 2Sr^2-l-l=0 \Rightarrow (2l+1)^2-8Sr^2=1$
Như vậy phương trình kia có dạng $u^2-8Sr^2=1$ mà $S=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \Rightarrow (2l+1)^2-4n(n+1)r^2=1$
Dễ thấy phương trình trên có nghiện $2l+1=2n+1,r=1$ khi ấy theo phương trình Pell suy ra vô số nghiệm nguyên

[Ispectorgadget]

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $(x;y;z;t)$ không có ước chung lớn hơn 1 và thỏa mãn $$x^3+y^3+z^2=t^4$$
2000 Romanian IMO TST

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-08-2012 - 21:24

[nguyenta98]

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $(x;y;z;t)$ không có ước chung lớn hơn 1 và thỏa mãn $$x^3+y^2+z^2=t^4$$
2000 Romanian IMO TST

Giải như sau:
Ta có đẳng thức $(a+1)^4-(a-1)^4=8a^3+8a$
Khi đó chọn $a=2b^2$
Như vậy khi ấy $(2b^2+1)^4-(2b^2-1)^4=(4b^2)^3+(4b)^2$
Suy ra $(2b^2+1)^4=(4b^2)^3+(4b)^2+[(2b^2-1)^2]^2$
Như vậy chọn $t=2b^2+1,x=4b^2,y=4b,z=(2b^2-1)^2$
Dễ dàng cm $gcd(x,y,z,t)=1$ suy ra $đpcm$

P/S ngoài ra bài này còn có một bài khác $x^3+y^3+z^2=t^4$ có vô số nghiệm thỏa $gcd(x,y,z,t)=1$
Giải như sau:
Nhận xét $1^3+2^3+...+u^3=\left[\dfrac{u(u+1)}{2}\right]^2$
Khi ấy
Chọn $z^2=1^3+2^3+...+(n-2)^3=\left[\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\right]^2$
và $x=(n-1),y=n$
Khi ấy $t^4=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$
Do đó $t^2=\dfrac{n(n+1)}{2} \Leftrightarrow (2n+1)^2-2(2t)^2=1$ là phương trình Pell nên có vô hạn nghiệm
Dễ dàng cm $gcd(x,y,z,t)=1$ nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-08-2012 - 21:29