Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Bài Toán :



Tìm tất cả các hàm số $ f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn :


$ f \left( x + f(x) + 2f(y) \right) = x+ f(x) + y + f(y) \ \ \forall x ; y \in \mathbb{R}$

[Peter Pan]

Em thử vậy. Nhưng cảm thấy không chắc chắn lắm
đặt $g(x)+x=f(x)$ ta được
$g( g(x)+2g(y)+2x+2y )=-g(y)$
Cho $y$ cố định, $x$ thay đổi ta thu được $g(x)$ là hàm hằng. thay vào ta được $g(x)=0$
suy ra $f(x)=x$

supermember :
Cách làm này không đúng vì khi $x$ chạy qua $ \mathbb{R}$ thì :

$ g(x)+2g(y)+2x+2y$ chưa chắc chạy qua $ \mathbb{R}$

Chẳng hạn khi $ g \equiv -2 x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-08-2011 - 21:09

[PTH_Thái Hà]

Hiếm có bài nào của anh supermember lại dễ ăn như vậy
Ta có: nếu tồn tại ${y_1}\& {y_2}$ để $f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( {{y_1}} \right)} \right) = f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( {{y_2}} \right)} \right)$
$ \Leftrightarrow {y_1} = {y_2}$
=> f(x) là hàm đơn ánh

từ phương trình đầu, đảo vị trí của x và y, kết hợp với hàm đơn ánh
$f\left( x \right) - x = f\left( y \right) - y \forall x,y \in R$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \equiv x$

Thử lại thỏa mãn