Jump to content

Photo

Tìm Min, Max của $x^6 + y^6$ với $x^2 + y^2 = 1$


  • Please log in to reply
4 replies to this topic

#1
linh280397

linh280397

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 posts
tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.

Edited by Ispectorgadget, 06-08-2012 - 15:48.


#2
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 posts

tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.

Ta có:
${({x^2} + {y^2})^2} \ge 4{x^2}{y^2} \Leftrightarrow 1 \ge 4{x^2}{y^2} \Leftrightarrow 0 \le {x^2}{y^2} \le \dfrac{1}{4}$
Mặt khác:
$A = {x^6} + {y^6} = {({x^2})^3} + {({y^2})^3} = {({x^2} + {y^2})^3} - 3({x^2} + {y^2}){x^2}{y^2}$

$ \Rightarrow A = 1 - 3{x^2}{y^2} \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le A \le 1$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#3
maikhai

maikhai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 posts
Bài này làm đơn giản là phân tích đa thức thành nhân tử thôi!
Ta có: $x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4 - x^2y^2+y^4)=(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$
Do $x^2+y^2= 1$ nên ta có ; $ (1+xy)(1-xy)=1-x^2y^2 \leq 1 \Rightarrow max$ của bt là 1 xảy ra khi x=0 hoặc y=0

Edited by bboy114crew, 14-08-2011 - 11:11.
Latex

Đừng cười khi người khác bị vấp ngã!

Vì bạn cũng có thể vấp ngã giống như họ!



Ai ơi chớ vội cười người


Cười người hôm trước hôm sau người cười


#4
Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 posts

tìm GTNN và GTLN của:
A= $\ x^{6} + y^{6} ( x^{2} + y^{2}=1) $
Mong mọi người giúp đỡ. Em xin cảm ơn.


Đặt $x^2 = a ;;;; y^2 = b \Rightarrow a , b \geq 0 $

$\Leftrightarrow a + b = 1$


Ta có $(a^3 + b^3)(1 + 1)(1 + 1) \geq (a + b)^3 = 1$

$\Rightarrow a^3 + b^3 \geq \dfrac{1}{4}$

Còn với max thì tahy a = 1 - b vào là đc !

Edited by Nguyễn Hữu Huy, 08-09-2011 - 20:41.

P . I = A . 22


#5
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 posts
MIN
vì vai trò a,b,c như nhau không mất tính tổng quát giả sử
\[
\begin{array}{l}
a^2 \ge b^2 \ge c^2 \\
= > a^4 \ge b^4 \ge c^4 \\
\end{array}
\]
Áp dụng BĐT chebishev
\[
x^4 .x^2 + y^4 y^2 \ge \dfrac{{x^2 + y^2 }}{2}.(x^4 + y^4 ) = \dfrac{1}{2}.(x^4 + y^4 )
\]
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz

\[
\dfrac{1}{2}.(x^4 + y^4 ) \ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{{(x^2 + y^2 )^2 }}{2} = \dfrac{1}{4}
\]
Dấu "=" xảy ra <=>
\[
a = b = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}
\]

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users