Chủ đề này có 9 trả lời

[Cao Xuân Huy]

$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + 2y^2 - 4y + 3 = 0 \\ x^2 + x^2 y^2 - 2y = 0 \\ \end{array} \right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + 2y^2 - 4y + 3 = 0 \\ x^2 + x^2 y^2 - 2y = 0 \\ \end{array} \right.$

Giải:
Phương trình thứ nhất tương đương với:
$x^3 = - ( 2y^2 - 4y + 3 ) = -2( y^2 - 2y + 1 ) - 1 = -2( y - 1 )^2 - 1 $

Do $( y - 1 )^2 \geq 0 \Rightarrow -2( y - 1 )^2 - 1 \leq - 1 $

$\Rightarrow x^3 \leq - 1 \Rightarrow x \leq - 1\Rightarrow x^2 \geq 1 $

Từ phương trình thứ hai, ta có:
$x^2(y^2 + 1 ) = 2y \Rightarrow x^2 = \dfrac{2y}{y^2 + 1}$
Ở đoạn này, chú ý là $y^2 + 1 \neq 0 $ nên có thể chia hai vế cho $y^2 + 1$.

Ta lại có: $y^2 + 1 \geq 2y \Rightarrow \dfrac{2y}{y^2 + 1} \leq \dfrac{y^2 + 1}{y^2 + 1} \leq 1$

$\Rightarrow x^2 \leq 1$ (*)
Từ và (*), ta thấy để hệ phương trình có nghiệm thì $x^2 = 1$.

Với $x^2 = 1$, suy ra:

$ \left\{\begin{array}{l}-2( y - 1 )^2 - 1 = - 1\\\dfrac{2y}{y^2 + 1}= 1\end{array}\right. \Rightarrow y = 1$

Thử lại với các cặp số $(x; y) = (1; 1); ( -1; 1) $, ta thấy x = -1 và y = 1 thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy hệ có nghiệm:

$(x; y) = ( - 1; 1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 16-08-2011 - 19:47

[Cao Xuân Huy]

Mình nghĩ bạn nhầm ở chỗ x=1 rồi.
Từ và (*) suy ra $x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 $
Mà $x \le - 1$ nên x=-1. Thay vào hệ rồi giải ra y=1.
Vậy hệ pt có 1 nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \\ \end{array} \right.$

P/S: Ừ đúng rồi ! Mình đã sửa, thanks bạn nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 16-08-2011 - 19:45

[Crystal]

$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + 2y^2 - 4y + 3 = 0 \\ x^2 + x^2 y^2 - 2y = 0 \\ \end{array} \right.$

Mình góp cách này.

Nếu x = 0 thì từ phương trình thứ hai ta có y = 0. Thay vào phương trình đầu được 3 = 0, vô lý.

Vậy x # 0. Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = 1 - x^4 \ge 0 \Rightarrow - 1 \le x \le 1\,\,\,(1)$

Tương tự, coi phương trình thứ nhất là phương trình bậc hai ẩn y. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = - 2 - 2x^3 \ge 0 \Rightarrow x \le - 1\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta được x = -1. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được y = 1. Các giá trị này thỏa mãn hệ.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)$.

[Yagami Raito]

Mình xin đưa ra bài này
Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p>n+1$
Hỏi phương trình sau có nghiệm không ?

$1+ \dfrac{a}{n+1}+\dfrac{a^{2}}{2n+1}+...+ \dfrac{a^{p}}{pn+1}=0$

Mod: Em gõ Latex cả dòng biểu thức có nghĩa là để một biểu thức dài rồi đặt trong dấu latex kể cả các dấu +, -, *, :.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 20-08-2011 - 21:33

[Phạm Văn Cường]

Mình góp cách này.

Nếu x = 0 thì từ phương trình thứ hai ta có y = 0. Thay vào phương trình đầu được 3 = 0, vô lý.

Vậy x # 0. Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = 1 - x^4 \ge 0 \Rightarrow - 1 \le x \le 1\,\,\,(1)$

Tương tự, coi phương trình thứ nhất là phương trình bậc hai ẩn y. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = - 2 - 2x^3 \ge 0 \Rightarrow x \le - 1\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta được x = -1. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được y = 1. Các giá trị này thỏa mãn hệ.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)$.

xusin à bạn bị nhầm rồi, ngay chỗ tương tự coi phương trình 1 là pt bậc 2 ẩn y hình như ' sai thì phải bạn coi lại thử nhé

Con người sinh ra để thành công, không phải để thất bại
P.H.B.C: Xin đáp lại câu nói này: Nhưng để đi đến thành công thì con người phải trải qua thất bại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 21-08-2011 - 07:36

[Crystal]

xusin à bạn bị nhầm rồi, ngay chỗ tương tự coi phương trình 1 là pt bậc 2 ẩn y hình như ' sai thì phải bạn coi lại thử nhé


Con người sinh ra để thành công, không phải để thất bại

Sao mà sai được hả bạn. Bạn xem lại cho kỹ.

[Zaraki]

$\left\{ \begin{array}{l} x^3 + 2y^2 - 4y + 3 = 0 \\ x^2 + x^2 y^2 - 2y = 0 \\ \end{array} \right.$

Cũng xin góp một cách, mọi người cùng góp ý nhé!

Ta có $y=-{\dfrac {{x}^{4}-{x}^{3}+{x}^{2}}{-4\,x+4}}$.

Như vậy $\left( {x}^{8}-2\,{x}^{7}+3\,{x}^{6}-2\,{x}^{5}+{x}^{4}-8\,{x}^{3}+32\,{x}^{2}-48\,x+24 \right) \left( x+1 \right) =0$.

Ta tìm được nghiệm $x=-1$.

[Zaraki]

Mình xin đưa ra bài này
Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p>n+1$
Hỏi phương trình sau có nghiệm nguyên không ?

$1+ \dfrac{a}{n+1}+\dfrac{a^{2}}{2n+1}+...+ \dfrac{a^{p}}{pn+1}=0$

Mod: Em gõ Latex cả dòng biểu thức có nghĩa là để một biểu thức dài rồi đặt trong dấu latex kể cả các dấu +, -, *, :.

Mình đã tìm được lời giải cho bài toán này nhưng không tiện đưa lên, lúc nào rảnh mình sẽ post lên.
Kết quả là phương trình không có nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-08-2011 - 13:45

[Cao Xuân Huy]

xusin à bạn bị nhầm rồi, ngay chỗ tương tự coi phương trình 1 là pt bậc 2 ẩn y hình như ' sai thì phải bạn coi lại thử nhé

Con người sinh ra để thành công, không phải để thất bại
P.H.B.C: Xin đáp lại câu nói này: Nhưng để đi đến thành công thì con người phải trải qua thất bại

' thế là đúng rồi đấy, coi x là hệ số còn y là ẩn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 21-08-2011 - 20:06