Chủ đề này có 9 trả lời

[viet_tranmaininh]

Đề bài: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 2pn +1 với p là số nguyên tố lẻ bất kì.

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

2pn là số chẵn +1= lẻ
có vô số nguyên tố

[viet_tranmaininh]

2pn là số chẵn +1= lẻ
có vô số nguyên tố

Hix. Chắc gì số lẻ là số nguyên tố . Lỡ trong k số lẻ chỉ có 3 số nguyên tố thôi thì sao !

[Crystal]

Đề bài: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 2pn +1 với p là số nguyên tố lẻ bất kì.

Đây là bài toán mình đã post cách đây khá lâu. Tối mình sẽ post lời giải
P/s: lời giải không đơn giản như pantorres nghĩ đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 17-08-2011 - 17:28

[tuan101293]

Đề bài: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 2pn +1 với p là số nguyên tố lẻ bất kì.

Xét với số p tùy ý thuộc P, lấy m tùy ý mà (m-1) ko chia hết cho p
xét q thuộc P mà $q|\dfrac{m^p-1}{m-1}$
ta có $(\dfrac{m^p-1}{m-1},m-1)=1$ nên p là cấp của m modulo q hay
$p|q-1$ hay $q=k_m*p+1$
đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 17-08-2011 - 23:02

[Crystal]

Đề bài: Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 2pn +1 với p là số nguyên tố lẻ bất kì.

Giải:
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: "p là số nguyên tố lẻ thì ước nguyên tố của $a^p - 1$ (a>1) hoặc là ước của a - 1 hoặc có dạng 2pn+1"
Gọi q là ước nguyên tố của $a^p - 1$.
Nếu q=2 thì $a - 1 = a^{q - 1} - 1 \vdots q \Rightarrow q|a - 1$.
Xét q > 2, gọi d là số mũ nhỏ nhất sao cho $a^d \vdots q$
Giả sử $p = dk + r,\,\,0 \le r < d$. Khi đó:
$a^p - 1 = a^r \left( {a^{dk} - 1} \right) + a^r - 1 \vdots q \Rightarrow a^r - 1 \vdots q \Rightarrow r = 0$
Vậy $p \vdots d$ do đó d=1 hoặc d=p.
+ Nếu d=1 thì $a - 1 \vdots q$
+ Nếu d=p thì $a^{q - 1} - 1 \vdots q \Rightarrow q - 1 \vdots d = p$
Vì q lẻ nên $q - 1 \vdots 2p$. Vậy q=2pn+1.
Trở lại bài toán.
p là số nguyên tố lẻ thì ước nguyên tố của $2^p - 1$ phải có dạng 2np+1 vài khi đó a - 1=1.
Ta giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố dạng 2pn + 1 là $q_1 ,q_2 ,...,q_r $
Xét ước nguyên tố lẻ q của $\dfrac{{a^p - 1}}{{a - 1}},\,\,a = pq_1 q_2 ...q_r $
Nếu q| a - 1 thì do $q|\dfrac{{a^p - 1}}{{a - 1}} = \left( {a^{p - 1} - 1} \right) + \left( {a^{p - 2} - 1} \right) + ... + \left( {a - 1} \right) + p$ nên $q|p \Rightarrow q = p \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p|a \\ p|a - 1 \\ \end{array} \right.$. Vô lý.
Vậy theo bổ đề thì q có dạng 2pn + 1. Nhưng rõ ràng $q \ne q_i ,\,\,i = 1,2,...,r$. Vô lý.
Vậy có vô số số nguyên tố dạng 2pn + 1. (đpcm)

Toàn: Cách của xusinst hình như cũng tương tự với cách của anh tuan101293 mà!

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Hix. Chắc gì số lẻ là số nguyên tố . Lỡ trong k số lẻ chỉ có 3 số nguyên tố thôi thì sao !

ý mình ko phải vậy đâu
Ý mình là các số nguyên tố khác 2 đều là số lẻ mà

[viet_tranmaininh]

Xét với số p tùy ý thuộc P, lấy m tùy ý mà (m-1) ko chia hết cho p
xét q thuộc P mà $q|\dfrac{m^p-1}{m-1}$
ta có $(\dfrac{m^p-1}{m-1},m-1)=1$ nên p là cấp của m modulo p hay
$p|q-1$ hay $q=k_m*p+1$
đpcm

sao $p|q-1$ đựoc nhỉ?

[tuan101293]

sao $p|q-1$ đựoc nhỉ?

mình đánh nhầm p với q
p là cấp của m modulo q nên p|q-1
********
chú ý ở đầu ta xài bổ đề
$(\dfrac{a^n-b^n}{a-b},a-b)=(a-b,n)$

[Crystal]

Bạn xem lại phần này, nếu $ q|(a-1) $ , ta có $ (\dfrac{a^p-1}{a-1};a-1) =1 $
nên $ q $ không thể chia hết $ \dfrac{a^p-1}{a-1} $

Bạn xem lại bài giải của mình thật kỹ trước khi thắc mắc nhé! Mình không có nhiều thời gian để giải thích những cái đã có và không phải là vấn đề để thắc mắc.
Thân!