Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Cho hàm số $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$ |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le |x-y| \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{R}$


Chứng minh rằng : $ \lim_{x\to 0}\, f(x)=0\iff\lim_{x\to 0}\, xf(x)=0 $

[Crystal]

Bài Toán :

Cho hàm số $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$ |f(x+y)-f(x)-f(y)|\le |x-y| \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{R}$
Chứng minh rằng : $ \lim_{x\to 0}\, f(x)=0\iff\lim_{x\to 0}\, xf(x)=0 $

Thử xem sao (thấy không ổn nhưng xin đưa ra để mọi người góp ý )

Cho x = y = 0, ta được:

$\left| {f\left( {2x} \right) - 2f\left( x \right)} \right| \le 0$

Bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra:

$\left| {f\left( {nx} \right) - nf\left( x \right)} \right| \le 0,\,\,\forall n \in N$

Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {f\left( {nx} \right) - nf\left( x \right)} \right| = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {nx} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} nf\left( x \right) = 0$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {nx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} nf\left( x \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {nx} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} nf\left( x \right) = 0$