Chủ đề này có 12 trả lời

[Yagami Raito]

Giải phương trình

$\dfrac{11}{x^{2}} - \dfrac{25}{(x+5)^{2} }=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 21-08-2011 - 06:58

[Crystal]

Sorry may minh ko go dc tieng viet co dau mong moi nguoi thong cam
Giai phuong trinh
$\dfrac{11}{x^{2}} $-$\dfrac{25}{(x+5)^{2} }=1 $

Giải:

ĐK: $x \ne 0,\,\,x \ne - 5$

Đặt: $y = x + 5;\,y \ne 0 \Rightarrow x^2 = \left( {y - 5} \right)^2 = y^2 - 10y + 25$.

Thay vào phương trình ta được:

$\dfrac{{11}}{{y^2 - 10y + 25}} - \dfrac{{25}}{{y^2 }} = 1$

$\Leftrightarrow 11y^2 - 25\left( {y^2 - 10y + 25} \right) = y^2 \left( {y^2 - 10y + 25} \right)$

$\Leftrightarrow y^4 - 10y^3 + 39y^2 - 250y + 625 = 0 \Leftrightarrow y^2 + \dfrac{{625}}{{y^2 }} - 10\left( {y + \dfrac{{25}}{y}} \right) + 39 = 0\,\,(1)$

Đặt: $t = y + \dfrac{{25}}{y};\,\,\left| t \right| \ge 10$

$\Rightarrow t^2 = y^2 + \dfrac{{625}}{{y^2 }} + 50 \Rightarrow y^2 + \dfrac{{625}}{{y^2 }} = t^2 - 50$

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$t^2 - 10t - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\left( L \right) \\ t = 11 \\ \end{array} \right.$

Với $t = 11 \Leftrightarrow y + \dfrac{{25}}{y} = 11 \Leftrightarrow y^2 - 11y + 25 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{2}\left( {11 - \sqrt {21} } \right) \\ y = \dfrac{1}{2}\left( {11 + \sqrt {21} } \right) \\\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \sqrt {21} } \right) \\ x = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {21} } \right) \\\end{array} \right.$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trên.

[Yagami Raito]

Chuẩn
Tiếp nhé
Giải phương trình
$( a^{2}+6a+10 )^{2}+(a+3)(3 a^{2}+20a+36 )=0 $

[Crystal]

Chuẩn
Tiếp nhé
Giải phương trình
$( a^{2}+6a+10 )^{2}+(a+3)(3 a^{2}+20a+36 )=0 $

Giải:

$PT \Leftrightarrow \left( {a^2 + 6a + 10} \right)^2 + \left( {a + 3} \right)\left[ {3\left( {a^2 + 6a + 10} \right) + 2\left( {a + 3} \right)} \right] = 0$

Đặt $u = a^2 + 6a + 10 > 0\,,\,\,\,\,v = a + 3$. Khi đó phương trình trở thành:

$u^2 + v\left( {3u + 2v} \right) = 0 \Leftrightarrow u^2 + 3uv + 2v^2 = 0 \Leftrightarrow \left( {u + v} \right)\left( {u + 2v} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - v \\ u = - 2v \\ \end{array} \right.$

Chú ý: $u > 0 \Rightarrow v < 0 \Rightarrow a + 3 < 0 \Leftrightarrow a < - 3$
Từ đó dễ dàng suy ra được a.
Phương trình có nghiệm a = -4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 20-08-2011 - 22:36

[Crystal]

Mình góp 1 bài.

Giải phương trình:

$\sqrt {2x^2 - 2x + 1} + \sqrt {2x^2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1} + \sqrt {2x^2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1} = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 20-08-2011 - 22:51

[CD13]

Giải phương trình
$\dfrac{11}{x^{2}} $-$\dfrac{25}{(x+5)^{2} }=1 $

Có thể giải ngắn hơn xusinst chút xíu!
$\\ Pt \Leftrightarrow x^2+\dfrac{25x^2}{(x+5)^2}=11\\ \Leftrightarrow (x-\dfrac{5x}{x+5})^2+10(\dfrac{x^2}{x+5})=11\\ \Leftrightarrow (\dfrac{x^2}{x+5})^2+10(\dfrac{x^2}{x+5})-11=0$
Đến đây chỉ cần đặt ẩn phụ $t=\dfrac{x^2}{x+5}$ thì Ok nhé!

[Zaraki]

Giải phương trình
$\dfrac{11}{x^{2}} - \dfrac{25}{(x+5)^{2} }=1 $

Sao không thử sáng tạo thêm một cách giải mới
Biến đổi tương đương phương trình ban đầu ta có

$11x^2+110x+275-25x^2=x^4+10x^3+15x^2$

$ \Leftrightarrow x^4+10x^3+39x^2-110x-275=0$

$ \Leftrightarrow (x^2-x-5)(x^2+11x+55)=0.$

Phương trình có nghiệm $x_{1,2}= \dfrac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

P.H.B.C: Em quá lạm dụng máy tính, đây thực ra là cách giải đơn thuần. Nếu như phương trình không thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định thì rất khó để xác định phương pháp phân tích. Đây là một cách không hay.
Nhận xét thêm một chút nữa là phương trình trên có biến x, khi biến đổi tương đương chú ý nhớ giữ nguyên hiện trạng. Nếu đặt ẩn thì phải nói rõ nhé. Mà kết luận nghiệm thì $y_{1, 2}$ ở đâu ra thế. Anh đã sửa lại rồi?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 21-08-2011 - 09:33

[isaac_newtons]

Mình góp 1 bài.

Giải phương trình:

$\sqrt {2x^2 - 2x + 1} + \sqrt {2x^2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1} + \sqrt {2x^2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1} = 3$

bài này của xusinst kết quả x=0 đúng không xusinst ???? nếu đúng thì mình post lời giải sau!!

Mình góp 1 bài.

Giải phương trình:

$\sqrt {2x^2 - 2x + 1} + \sqrt {2x^2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1} + \sqrt {2x^2 + \left( {\sqrt 3 + 1})x + 1} = 3$

đặt:
$ a= 2x^2 -2x+1 $;$b=2x^2 - \left( {\sqrt 3 - 1})x+1 $ ; $c=2x^2 + \left( {\sqrt 3 + 1})x+1$
từ đó ta có hpt:
$ \begin{cases}\ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} =3 \\ a= \dfrac{b+c}{2} \end{cases} $
áp dụng AM-GM :
$ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} \geq 3 \sqrt[3]{ \sqrt{abc} } =3 $
dấu "=" xẩy ra khi abc=1
$ \Leftrightarrow bc.(b+c)=2 $
đặt $ b+c = u $ ; $ bc=v $ ta có
$ \begin{cases}\ uv=2 \\ u^2 \geq 4v \end{cases} $

$ \begin{cases}\ uv=2 \\ v \leq 1 \end{cases} $
từ đó ta có: v=1,u=2 hay a=b=c=1
lần lượt thay vào các pt trên ta thây x= 0 là nghiệm chung của pt.vậy x=0

mod: bạn cần kiểm tra lời giải của mình rõ ràng hơn khi post bài. Có thể do bạn giải quá tắt nhưng mình không hiểu:

từ đó ta có hpt:
$\begin{cases}\ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} =3 \\ a= \dfrac{b+c}{2} \end{cases} $
áp dụng AM-GM :
$ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} \geq 3 \sqrt[3]{ \sqrt{abc} } =3 $
dấu "=" xẩy ra khi abc=1
$ \Leftrightarrow bc.(b+c)=2 $

không biết bạn có cm được abc = 1 hay abc \ge 1 không ???

[Crystal]

đặt:
$ a= 2x^2 -2x+1 $;$b=2x^2 - \left( {\sqrt 3 - 1})x+1 $ ; $c=2x^2 + \left( {\sqrt 3 + 1})x+1$
từ đó ta có hpt:
$ \begin{cases}\ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} =3 \\ a= \dfrac{b+c}{2} \end{cases} $

Bạn xem lại phần này. $a = \dfrac{{b + c}}{2}???$

[h.vuong_pdl]

Biến đổi

$\textup{pt} \Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)^2+1}+\sqrt{\left(2x-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(2x+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^2}=3\sqrt{2}.$

Theo mình , đến đây có thể dùng BCS loại đi ẩn x ( = pp cân bằng hệ số ) nhung có vẻ hơi phức tap thì phải.

[h.vuong_pdl]

Biến đổi

$\textup{pt} \Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)^2+1}+\sqrt{\left(2x-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(2x+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^2}=3\sqrt{2}.$

híc, một cách biến đổi khác:

$\textup{pt} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right+\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=3.$

Đến đây, áp dụng Mincopski, cho ta ngay đpcm!

Thật vậy, theo Mincopski:

$\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right+\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\ge \sqrt{(2x+1)^2+3}$

Như vậy,

$VT \ge \sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(2x+1)^2+3}=\sqrt{x^2+(1-x)^2}+\sqrt{3x^2+(x+2)^2}$

Đến đây, đánh giá ngay với chú ý nghiêm duy nhất của pt là x = 0, ta có:

$VT \ge \sqrt{(1-x)^2}+\sqrt{(x+2)^2} = |1-x|+|x+2| \ge 3 \to \textup{ dpcm!}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 0 cũng là nghiệm của pt.!

p/s: có chút nhận xét về bài toán: VT của pt chứa 2 đẳng thức khá đẹp. Tuy nhiên, 2 đẳng thức lại mở ra 2 con đừong khác nhau. Quả thực mình thấy bài toán này khá thú vị, đặc biệt là đoan cuối của lg + những đánh giá với nghiệm x = 0 cũng đáng chú ý. Mong đc trao đổi thêm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 21-08-2011 - 11:00

[Crystal]

híc, một cách biến đổi khác:

$\textup{pt} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=3.$

Đến đây, áp dụng Mincopski, cho ta ngay đpcm!

Thật vậy, theo Mincopski:

$\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\ge \sqrt{(2x+1)^2+3}$

Như vậy,

$VT \ge \sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(2x+1)^2+3}=\sqrt{x^2+(1-x)^2}+\sqrt{3x^2+(x+2)^2}$

Đến đây, đánh giá ngay với chú ý nghiêm duy nhất của pt là x = 0, ta có:

$VT \ge \sqrt{(1-x)^2}+\sqrt{(x+2)^2} = |1-x|+|x+2| \ge 3 \to \textup{ dpcm!}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 0 cũng là nghiệm của pt.!

p/s: có chút nhận xét về bài toán: VT của pt chứa 2 đẳng thức khá đẹp. Tuy nhiên, 2 đẳng thức lại mở ra 2 con đừong khác nhau. Quả thực mình thấy bài toán này khá thú vị, đặc biệt là đoan cuối của lg + những đánh giá với nghiệm x = 0 cũng đáng chú ý. Mong đc trao đổi thêm.

Đúng như bạn nói, mình cũng thấy bài này khá thú vị nên post lên cho mọi người cùng thảo luận. Trên đây là một cách. Bạn nào có cách khác thì post lên để trao đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 21-08-2011 - 11:56

[Crystal]

Bài tiếp.
Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 1} + \sqrt {{x^2} - x} - x\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {7{x^2} - x + 4} \right)$