Chủ đề này có 2 trả lời

[phantom_96]

Chứng minh các BĐT sau:
Bài 1,Cho $a,b,c$ $R$ và $a^{2} +b^{2} +c^{2} =3$.CMR:$a^{2}.b + b^{2}.c + c^{2}.{a}$ $3$.

Bài 2,Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn:$a^{2} + b^{2} +c^{2} =9$.CMR: $2(a+b+c)$ $10+abc$.

Bài 3,Cho các số thực không âm $a,b,c$ CMR: $a^{2}.b^{2}.(a-b)^{2} + b^{2}.c^{2}.(b-c)^{2} + c^{2}.a^{2}.(c-a)^{2}$ $(a-b)^{2}.(b-c)^{2}.(c-a)^{2}$.

Bài 4,Cho các số thực dương thỏa mãn:$a^{2} + b^{2} + c^{2}=3$.CMR: $\dfrac{1}{2-a} +\dfrac{1}{2-b} +\dfrac{1}{2-c}$ $3$


Mod: Bạn phải gõ latex và đặt tên chủ đề cho đúng nội dụng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 22-08-2011 - 16:09

[Didier]

Bài 1,Cho $a,b,c$ $R$ và $a^{2} +b^{2} +c^{2} =3$.CMR:$a^{2}.b + b^{2}.c + c^.{a}$ $3$.
Bài 2,Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn:$a^{2} + b^{2} +c^{2} =9$.CMR: $2(a+b+c)$ $10+abc$.
Bài 3,Cho các số thực không âm $a,b,c$ CMR: $a^{2}.b^{2}.(a-b)^{2} + b^{2}.c^{2}.(b-c)^{2} + c^{2}.a^{2}.(c-a)^{2}$ $(a-b)^{2}.(b-c)^{2}.(c-a)^{2}$.
Bài 4,Cho các số thực dương thỏa mãn:$a^{2} + b^{2} + c^{2}=3$.CMR: $\dfrac{1}{2-a} +\dfrac{1}{2-b} +\dfrac{1}{2-c}$ $3$
ĐỀ thế này ak bạn

bài 4 $ \sum \dfrac{1}{2-a} \ge 3$
$ \Leftrightarrow 2 \sum \dfrac{1}{2-a} \ge 6$
trừ 3 hai vế
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{2-a} \ge 3$
ta có $ \sum \dfrac{a}{2-a} = \sum \dfrac{a^{2}}{2a-a^{2}} \ge \dfrac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-3} \ge 3$
xét BDT $ \dfrac{t^{2}}{2t-3} \ge 3$
$ t^{2}-6t+9 \ge 0$(luôn đúng)

[hoangduc]

Bài 1.
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:
$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\le (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $

Mặt khác: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}=3 $

Do đó $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\le 9 \Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le 3 $


Bài 2.
Giả sử $a^2=max(a^2,b^2,c^2)\Rightarrow a^2\ge 3\Rightarrow b^2+c^2\le 6 $

BĐT cần cm tương đương với:
$a(2-bc)+2(b+c)\le 10 $

Theo BĐT Cauchy Schwarz ta có:
$VT^2\le [a^2+(b+c)^2][(2-bc)^2+4]= (9+2bc)(b^2c^2-4bc+8) $

Đặt $t=bc\Rightarrow t\le \dfrac{b^2+c^2}{2}\le 3 $, ta cần cm:
$2t^3+t^2-20t+72 \le 100 $

$\Leftrightarrow (t+2)^2(2t-7)\le 0 $ (đúng do $t\le 3 $)

Vậy ta có đpcm.


Bài 3.
Đặt $x=bc(b-c),y=ca(c-a),z=ab(a-b) $
Ta có:
$x+y+z=bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)=(a-b)(b-c)(a-c) $

$xy+yz+zx=-abc[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)] \le 0$ (BĐT Schur)

Do đó:
$VT=x^2+y^2+z^2\ge (x+y+z)^2=(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2 $ (đpcm)