Cho 2 số nguyên $x,y$nguyên tố cùng nhau . Tim các cặp số $x,y$ sao cho:
$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{7}{25}$
toán
Bắt đầu bởi Nguyễn Văn Bảo Kiên, 24-08-2011 - 11:13
#1
Đã gửi 24-08-2011 - 11:13
Nguyễn Văn Bảo Kiên
-
- Thành viên
-
- 170 Bài viết
Trung sĩ
Con người sinh ra không phải để tan biến đi như một hạt cát vô danh. Họ sinh ra để in dấu lại trên mặt đất, in dấu lại trong trái tim người khác.
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
......................................VMF........................................
#2
Đã gửi 24-08-2011 - 17:46
Cao Xuân Huy
-
- Hiệp sỹ
-
- 592 Bài viết
Thiếu úy
Mình có cách giải này:
Đặt: $x + y = 7k;x^2 + y^2 = 25k;S = x + y;P = xy$ (k
Z) ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} S = 7k \\ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = S^2 - 2P = 25k \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 7k \\ P = \dfrac{{49k^2 - 25k}}{2} \\ \end{array} \right.$
Theo định lí Viét thì x,y là 2 nghiệm của phương trình:
$X^2 - SX + P = 0 \Leftrightarrow X^2 - 7kX + \dfrac{{49k^2 - 25k}}{2} = 0$
$\Delta = b^2 - 4ac = 49k^2 - 2(49k^2 - 25k) = - 49k^2 + 50k$
Để phương trình có nghiệm thì
0.Do đó:
$0 \le k \le \dfrac{{50}}{{49}}$. Vì k Z nên k=0 hoặc k=1.
*Khi k=0 thì: $X^2 = 0 \Rightarrow x = y = 0$. Nhưng x=y=0 không thỏa mãn ĐKXĐ của $\dfrac{{x + y}}{{x^2 + y^2 }}$
*Khi k=1 thì$ \Leftrightarrow X^2 - 7X + 12 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$.
Hai cặp số này thỏa mãn nên là 2 nghiệm của phương trình.
Đặt: $x + y = 7k;x^2 + y^2 = 25k;S = x + y;P = xy$ (k
Z) ta có:$\left\{ \begin{array}{l} S = 7k \\ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = S^2 - 2P = 25k \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 7k \\ P = \dfrac{{49k^2 - 25k}}{2} \\ \end{array} \right.$
Theo định lí Viét thì x,y là 2 nghiệm của phương trình:
$X^2 - SX + P = 0 \Leftrightarrow X^2 - 7kX + \dfrac{{49k^2 - 25k}}{2} = 0$
$\Delta = b^2 - 4ac = 49k^2 - 2(49k^2 - 25k) = - 49k^2 + 50k$
Để phương trình có nghiệm thì
0.Do đó:$0 \le k \le \dfrac{{50}}{{49}}$. Vì k
Z nên k=0 hoặc k=1.*Khi k=0 thì: $X^2 = 0 \Rightarrow x = y = 0$. Nhưng x=y=0 không thỏa mãn ĐKXĐ của $\dfrac{{x + y}}{{x^2 + y^2 }}$
*Khi k=1 thì
$ \Leftrightarrow X^2 - 7X + 12 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$.Hai cặp số này thỏa mãn nên là 2 nghiệm của phương trình.
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 24-08-2011 - 19:09
Yagami Raito
-
- Thành viên
-
- 1333 Bài viết
Master Tetsuya
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
