Chủ đề này có 2 trả lời

[quoctrungtrinh]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. $ CMR: 5 ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )+6abc \geq 21 $

[vietfrog]

Cho a,b,c > 0 và$ a+b+c=3$. $ CMR: 5 ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )+6abc \geq 21 $

Bài làm
Đặt:$P = 5({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 6abc - 21$
Ta chứng minh:$P \ge 0$
Biến đổi:
$\begin{array}{l}P = 5{(a + b)^2} - 10ab + 5{c^2} + 6abc - 21\\ \Leftrightarrow P = 5{(3 - c)^2} - 10ab + 5{c^2} + 6abc - 21\\ \Leftrightarrow P = ab(6c - 10) + 5{(3 - c)^2} + 5{c^2} - 21\end{array}$
Để ý P là hàm số bậc nhất ẩn (ab) :
$P(ab) = ab(6c - 10) + 5{(3 - c)^2} + 5{c^2} - 21$
Mặt khác:
$ab \ge 0;ab \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}$
Suy ra:
$ab \in [0;\dfrac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}]$
Do P là hàm bậc nhất nên:
$P(ab) \ge \max \left\{ {P(0);P(\dfrac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4})} \right\}$
Ta có:
$P(0) = 5{(3 - c)^2} + 5{c^2} - 21 = 10{c^2} - 30c + 24 \ge 0$

$P(\dfrac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}) = \dfrac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}.(6c - 10) + 5{(3 - c)^2} + 5{c^2} - 21$
$ = \dfrac{3}{2}(c + 1){(c - 1)^2} \ge 0$
Vì thế:$P \ge 0$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 24-08-2011 - 20:20

[alex_hoang]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. CMR: $ 5(a^2+b^2+c^2) + 6abc \geq 21 $

Ta có $f(a,b,c) = 5({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 6abc \ge 10ab + 5{c^2} + 6abc = f(\sqrt {ab} ,\sqrt {ab} ,c)$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi 2 biến $a=b$
$10{t^2} + 5{(3 - 2t)^2} + 6{t^2}(3 - 2t) \ge 21$