Chủ đề này có 4 trả lời

[everlasting]

1. Chứng minh rằng $n^2+n+1$ không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 với mọi n tự nhiên

2. Chứng minh rằng $5^n-1 \vdots 4$ với mọi n tự nhiên

3. Chứng minh rằng : $A=n^5-5.n^3-6.n$ $\vdots$ $10$ với mọi n

4. Chứng minh rằng với mọi n thuộc tập hợp số nguyên dương thì $n^3+5n \vdots 6$

5.Chứng minh rằng đa thức: $f(x)= -4x^4+2x^3-3x^2+x+1$ không có nghiệm nguyên

6.Tính:

$ A=2^{100}-2^{99}-2^{98}-............-2^2-2-1$

$B= 9+99+999+..........+\underbrace {99..99}_{25cs9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-08-2011 - 22:25

[Phạm Hữu Bảo Chung]

1. Chứng minh rằng $n^2+n+1$ không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 với mọi n tự nhiên

Giải

Ta có:
$n^2 + n + 1 = n( n + 1 ) + 1$
Trong hai số tự nhiên liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho 2.
Do vậy $n( n + 1)$ $\vdots$ $2$

$\Rightarrow n^2 + n + 1$ $\not \vdots$ $2$

$\Rightarrow n^2 + n + 1$ $ \not \vdots$ $4$

Một số khi chia cho 5 chỉ có thể có các số dư là 0, 1, 2, 3, 4.
Do đó mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng :
5k; 5k + 1 ; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4

Với n = 5k, ta có: $n^2 + n + 1 = (5n)^2 + 5n + 1 $ $\not \vdots$ $5$

Xét lần lượt với n = 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4, ta thấy :

$n^2 + n + 1$ $\not \vdots$ $5$

Vậy ta có đpcm.

[Zaraki]

4. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $n^3+5n \vdots 6$.

Giải. $n^3+5n=(n^3-n)+6n=(n-1)n(n+1)+6n$
Nhận thấy $(n-1)n(n+1)$ là tích các số nguyên dương liên tiếp nên $(n-1)n(n+1) \vdots 6$.
Như vậy $n^3+5n=(n-1)n(n+1)+6n \vdots 6$.

P/s: Bài này thì $n \in \mathbb{Z}$ vẫn đúng.

[GaoHu_F]

2. $5^n-1 \vdots 5-1=4$
6.
$A=2^{100} - (2^{99}+2^{98}+...+2^1+2^0)=2^{100} - (2^{100}-1) =1$
Với B mình nghĩ như vầy: $B=\underbrace%20{11..110}_{25cs1} - 25$
P/s: Với bt B bài 6 chắc là ko phải. :">

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GaoHu_F: 28-08-2011 - 09:02

[Zaraki]

3. Chứng minh rằng $P=n^5-5.n^3-6n \vdots 10$ với mọi $n \in \mathbb{Z}$.

Giải. $10=2.5$

Hiển nhiên $P=n^5-5n^3-6n \vdots 2$ (cm bằng cách xét TH $n$ chẵn, lẻ).

Ta phân tích $P=n^5-5n^3-6n=(n^5-n)-5(n^3+n)$
Ta cần chứng minh $n^5-n \vdots 5$.
Thật vậy, phân tích $n^5-n=(n-1)(n+1)(n^2+1)$

+ Nếu $n=5k$ thì $n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n= 5k \pm 1$ thì $(n-1)(n+1) \vdots 5$ nên $n^5-n \vdots 5$.
+ Nếu $n=5k \pm 2$ thì $n^2 \equiv 4 \pmod{5}$, nên $n^2+1 \equiv 0 \pmod{5}$. Do đó $n^5-n \vdots 5$.

Như vậy $P=n^5-5n^3-6n=(n^5-n)-5(n^3+n) \vdots 5$.

Kết luận $P=n^5-5n^3-6n \vdots 10, \forall n \in \mathbb{Z}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-08-2011 - 09:03