Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài toán : Xác định số hạng tổng quát của dãy số {$ {u_n} $} biết rằng:
$ \left\{\begin{array}{l}{u_1=2}\\{u_{n+1} = 9u_n^3+3u_n}\end{array}\right. $

[alex_hoang]

Bài toán : Xác định số hạng tổng quát của dãy số {$ {u_n} $} biết rằng:
$ \left\{\begin{array}{l}{u_1=2}\\{u_{n+1} = 9u_n^3+3u_n}\end{array}\right. $

Đây là dạng dãy số xây dựng từ phương trình bậc 2 quen thuộc nếu ta đặt $3v=u$

[Crystal]

Bài toán : Xác định số hạng tổng quát của dãy số {$ {u_n} $} biết rằng:
$ \left\{\begin{array}{l}{u_1=2}\\{u_{n+1} = 9u_n^3+3u_n}\end{array}\right. $

Giải:

Đặt: ${v_n} = 3{u_n}\,\,\left( {n = 1,2,...} \right)$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 6\\{v_{n + 1}} = v_n^3 + 3{v_n}\end{array} \right.$

Chọn ${x_1},\,{x_2}\,:\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$

Với n = 1, ta có: ${v_1} = 6 = {x_1} + {x_2} = x_1^{{3^{1 - 1}}} + x_2^{{3^{1 - 1}}}$

Với n = k, ta giả sử: ${v_k} = x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}$

Với n = k + 1, ta có: ${v_{k + 1}} = v_k^3 + 3{v_k} = {\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right)^3} + 3\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right)$

$ = x_1^{{3^k}} + x_2^{{3^k}} + 3{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^{{3^{k - 1}}}}\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right) + 3\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right) = x_1^{{3^k}} + x_2^{{3^k}}$

Theo nguyên lí quy nạp thì: ${v_n} = x_1^{{3^{n - 1}}} + x_2^{{3^{n - 1}}},\,\,\,\forall n \in N$

Do ${x_1},\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x - 1 = 0$

Vậy: ${u_n} = \dfrac{1}{3}\left[ {{{\left( {3 - \sqrt {10} } \right)}^{{3^{n - 1}}}} + {{\left( {3 + \sqrt {10} } \right)}^{{3^{n - 1}}}}} \right]$

[dark templar]

Bài toán trên có thể sử dụng công thức hàm HyboLơric:
Đặt $v_{n}=\dfrac{3}{2}u_{n}$,ta thiết lập được một dãy mới sau:

$\{v_{n} \}: \left\{\begin{array}{l}v_1=3\\v_{n+1}=4v_{n}^3+3v_{n}\end{array}\right.$

Đặt $v_1=sh \alpha$.Để ý đến công thức sau:

$sh 3\alpha =4sh^3 \alpha +3sh \alpha$

Nên $v_2=4v_1^3+3v_1=sh 3\alpha$
Sử dụng phương pháp quy nạp Toán học,ta tìm được CTTQ của $\{v_{n} \}$ là:

$v_{n}=sh 3^{n-1} \alpha$

Suy ra:

$u_{n}=\dfrac{2}{3}sh 3^{n-1} \alpha$

Việc còn lại chỉ là tính ra $\alpha$,vốn là công việc đơn giản vì chỉ là giải phương trình sau:

$\dfrac{1}{2}(e^{\alpha}-e^{-\alpha})=3$

.
Xong.