Chủ đề này có 1 trả lời

[zkobez]

Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng : $ MN $ $ max(AD,BC) $

[E. Galois]

Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng : $ MN $ $ max(AD,BC) $

Cách giải của mình như sau:

Trước hết ta có nhận xét: Trong tứ giác ABCD, nếu AB > CD thì AD và BC sẽ cắt nhau tại M, M ở gần cạnh nhỏ hơn, tức là cạnh CD.

Để chứng minh nhận xét trên ta dùng định lý sin

Bây giờ quay lại bài toán, giả sử $ MN $ > $ max(AD,BC) $. Khi đó,
Vì MN > AD nên MA cắt DN ở E, E nằm ở nửa mp bờ AD không chứa MN,
Vì MN > CB nên MB cắt CN ở F, F nằm ở nửa mp bờ BC không chứa MN,

Vậy hai đường thẳng phân biệt AB và CD cắt nhau tại hai điểm phân biệt E, F. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ $ MN $ $ max(AD,BC) $