Chủ đề này có 6 trả lời

[alex_hoang]

Cho $m,n,p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0(a \ne 0)$,Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{m} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{n} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{p} \le {m^2} + {n^2} + {p^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 01-01-2012 - 11:40

[Crystal]

Một bài tương tự.
Giả sử phương trình: $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{x_1}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{x_2}}} + \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{{x_3}}} \le x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

[Didier]

mấy bài trên khó quá thôi thử bài này coi
cho p là mộtsố nguyên tố và $ P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ là đa thức bậc s thoả mãn các điều kiện
$ 1)P(0)=0,P(1)=1$
$ 2)P(n)$ hoặc chia hết cho p hoặc có số dư bằng $ 1\forall n\in \mathbb{Z^{+}}$
Chứng minh rằng $ s\geq p-1$

[anh qua]

Cho $m,n,p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0(a \ne 0)$,Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{m} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{n} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{p} \le {m^2} + {n^2} + {p^2}$

áp dụng vi-ét ta có:
$mnp=1.$ Lấy $a={45}^{\circ};b=-30^{\circ};c=165^{\circ}.$
thì $a+b+c={180}^{\circ}. \cos{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \cos{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \cos{c}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sqrt{2}np+\sqrt{3}pm-\sqrt{2+\sqrt{3}}mn \leq m^2+n^2+p^2$
. hay
$2np\cos{a}+2pm\cos{b}+2mn\cos{c} \leq m^2+n^2+p^2$
Mà:
$(p-n\cos{a}-m\cos{b})^2+(m\sin{b}-n\sin{a})^2 \geq 0.$
$\Leftrightarrow p^2+m^2+n^2 \geq 2mp\cos{b}+2np\cos{a}-2mn\cos{(a+b)}$
$\Leftrightarrow p^2+m^2+n^2 \geq 2mp\cos{b}+2np\cos{a}+2mn\cos{c}$
suy ra ĐPCM.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$m=-\sqrt[6]{2}.\sqrt[3]{\sqrt{3}+1}; n=\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}}$ và $p= \sqrt[6]{\dfrac{7-4\sqrt{3}}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-03-2012 - 20:32

[anh qua]

Một bài tương tự.
Giả sử phương trình: $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{x_1}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{x_2}}} + \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{{x_3}}} \le x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

bài này giải tương tự như trên.

[alex_hoang]

Nhận xét:Bài toán mình đưa ra không quá khó nhưng phải yêu cầu khả năng phân tích và nhìn nhân có chút sáng tạo

[Tham Lang]

Cho $m,n,p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0(a \ne 0)$,Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{m} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{n} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{p} \le {m^2} + {n^2} + {p^2}$

Thực ra, bài này cũng thuộc dạng BDT bình thường
ta có $mnp = 1$ nên
BDT $$\Leftrightarrow np + \sqrt{2}mp - \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \le m^2 + n^2 + p^2 \Leftrightarrow p^2 - \left (\sqrt{2}m + n \right ) + m^2 + n^2 + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \ge 0 (1) $$
Xét tam thức bậc 2 ẩn $p$ có $a = 1 > 0$
Lại có $$\bigtriangleup = \left (\sqrt{2}m + n \right )^2 - 4 \left (m^2 + n^2 + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \right ) = -\left (\sqrt{3}n + \sqrt{2}m \right )^2\le 0$$
Nên $(1)$ luôn đúng .

Một bài tương tự.
Giả sử phương trình: $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{x_1}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{x_2}}} + \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{{x_3}}} \le x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

Bài của anh Thành hình như là
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{x_1}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{x_2}}} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{{x_3}}} \le x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$
Thì phải. Nếu là như thế này, ta cũng có $\bigtriangleup = - \left (\sqrt{2}x_2 + x_1 \right )^2 \le 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 10-03-2012 - 11:57