Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 chuyên Quang Trung, Bình Phước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-09-2011 - 21:18

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG,BÌNH PHƯỚC


Năm học 2011-2012


Câu 1: Giải hệ phương trình:$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 (y + 1) = 6y - 2 \\ x^4 y^2 + 2x^2 y^2 + y(x^2 + 1) = 12y^2 - 1 \\ \end{array} \right.$

Câu 2: Giải phương trình : $ x=\sqrt{2-x}.\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{2-x}$

Câu 3: a) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: $p^2+11$ chia hết cho 12
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $ p$ sao cho số $p^2+11$ chỉ có đúng 6 ước số ( kể cả 1 và chính nó)

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, hai đỉnh $B,C$ thay đổi trên đường thẳng $d$ cố định sao cho hình chiếu $H$ của $A$ trên $d$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ đồng thời $HB.HC$ là một số khộng đổi. Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AB, E$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$.
a) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ với $DE, Q$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng $BDPQ$ là tứ giác nội tiếp và $P, Q$ là các điểm cố định.
b) Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tan giác $HDE$ tại $D$ và $E$. Tìm quỹ tích của điểm $S$.

Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$

Câu 6: Có m bạn nữ và n bạn nam cùng tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán. Biết rằng:
a) Mỗi bạn nữ đều quen với ít nhất một bạn nam
b) Bất cứ hai bạn nữ nào $M_1,M_2$ và bất cứ hai ban nam$N_1,N_2$ nào: nếu $M_1$ quen $N_1$ và $M_2$ quen $N_2$ thì trong hai cặp $(M_1;N_2)$ và $(M_2;N_1)$ có ít nhất một cặp gồm hai bạn quen nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một bạn nam quen tất cả các bạn nữ.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 10-09-2011 - 14:14

Câu 3: a) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: $p^2+11$ chia hết cho 12.

Gớm, mất công post cái đề mà chả ai làm, chán ghê!
Thôi thì giải 1 bài trước vậy.
Do $12=3.4$, ta chứng minh $p^2+11$ chia hêt cho $3$ và $4$.

+ Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Do đó $p^2 +11 \equiv 0 \pmod{3}$.
+ Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $p^2 \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $p^2+11 \equiv 0 \pmod{4}$.

Đây rút ra đpcm. :icon1:

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 10-09-2011 - 17:45

cau b $ p^{2}+11$ co cac uoc $ 1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,12 \forall p>3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 10-09-2011 - 17:46


#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 10-09-2011 - 18:46

Khoái câu 6 nhất :icon1:
Câu 6
Giả sử không có bạn nam nào quen m bạn nữ. Suy ra, mỗi bạn nam quen nhiều nhất m-1 bạn nữ. :Rightarrow
Gọi $N_i$ là bạn nam quen nhiều bạn nữ nhất.(**)
Do :D nên tồn tại 1 bạn nữ $M_x$ mà $N_i$ không quen.
Theo gt a) thì $M_x$ chắc chắn phải quen một bạn nam $N_j \neq N_i$
Gọi $M_a$ là một trong các bạn nữ mà $N_i$ quen.
Xét 2 cặp $(N_i;M_a);(N_j;M_x)$ thì theo gt b) thì chắc chắn $N_j$ phải quen $M_a$ (do $M_x$ và $N_i$ không quen)
Chọn tiếp $M_b$ là một bạn nữ khác $M_a$ mà $N_i$ quen. Lý luận tương tự thì $N_j$ quen $M_b$.
Tiếp tục vậy, thì $N_j$ quen tất cả các bạn nữ mà $N_i$ quen. Hơn nữa, $N_j$ lại quen $M_x$ mà $N_i$ không quen $M_x$ nên $N_j$ quen nhiều bạn nữ hơn $N_i$ (trái (**))
Vậy điều giả sử ban đầu là sai nên ta có đpcm.

p/s: bằng cách lý luận như trên, có thể dùng phương pháp cực hạn để cm mà không dùng phản chứng :Rightarrow
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 10-09-2011 - 19:31

Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$


$ \sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}= \sqrt{4a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}}\geq \sqrt{4a^{2}+b^{2}+4ab}\geq 2a+b$
$\Rightarrow \sum \dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}\leq \sum \dfrac{1}{2a+b}=\sum \dfrac{1}{a+a+b}\leq \sum (\dfrac{(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})}{9})\leq \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq \sqrt{(\sum \dfrac{1}{a^{2}})\dfrac{1}{3}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$


#6 hammetoan

hammetoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 10-09-2011 - 20:26

Đặt $ a= \sqrt{2-x}, b= \sqrt{3-x}, c= \sqrt{2-x} $
suy ra $ x= 2-a^2=3-b^2=3-c^2 $
từ đó suy ra $ ab+bc+ca+a^2=2 $
$ ab+bc+ca+b^2=3 $
$ ab+bc+ca+c^2=5$

tương đương vs $ (a+b) (a+c) =2 $
$ (a+b) (b+c) =3 $
$ (b+c) (a+c) =5 $
suy ra $ (a+b) (a+c) (b+c) = \sqrt{30} $
vậy ta được hệ: $ b+c= \dfrac{ \sqrt{30} }{2} $ (1)
$ a+c= \dfrac{ \sqrt{30} }{3} $ (2)
$ b+a= \dfrac{ \sqrt{30} }{5} = \dfrac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{5} } $
từ (1) và (2 ) suy ra $ b-a=\dfrac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{6} } $
suy ra $ b= \dfrac{11}{2 \sqrt{30} } $

$ x= \dfrac{239}{120} $

#7 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 10-09-2011 - 23:01

Sao bài này các anh lại chuyển vào box toán cấp 3. Đề này khó quá
Bài 1 ta có cặp nghiệm duy nhất là: (0;1/3)
Các anh có cách giải nào không. Em chỉ thử được 1 nghiệm như vậy thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-09-2011 - 23:02

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 11-09-2011 - 07:11

Câu 2.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2+11$ có $6$ ước (kể cả $1$ và chính nó).

Giải. Nhận thấy $12=2^2.3^1$ có tất cả $(2+1)(1+1)=6$ ước.
Đồng thời với mọi số nguyên tố $p \ge 5$ thì $p^2+11$ có dạng $12k \ (k \in \mathbb{N})$ có nhiều hơn $6$ ước.
Thử trực tiếp với $p=2,3$ thì thấy $p=3$ thỏa mãn.
Vậy số nguyên tố thỏa mãn đề bài là $\boxed{p=3}$.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 11-09-2011 - 09:42

Câu 1.
Từ PT thứ nhất, ta thấy $x^2 = \dfrac{6y-2}{y+1}$, thay vào PT thứ hai, ta được:
$ \dfrac{(6y-2)^2y^2}{(y+1)^2} + 2 \dfrac{(6y-2)y^2}{y+1} + y( \dfrac{6y-2}{y+1} + 1) = 12y^2 - 1$
Biến đổi biểu thức này, ta được:
$ (6y-2)^2y^2 + 2 (6y-2)(y+1)y^2 + y(7y-1) (y+1)= (12y^2 - 1)(y+1)^2$
hay $36y^4-33y^3-5y^2+y+1=0 \Leftrightarrow (y-1)(3y-1)(12y^2+5y+1)=0$.
PT này có hai nghiệm là $y=1, y = \dfrac{1}{3}$.
Từ đó thay vào tính được $y=1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, y = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x= 0$.
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt như trên.

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh