Chủ đề này có 1 trả lời

[zkobez]

Cho hàm số : $ y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x^2})^3 - 1- x^2$
a/ Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên.
b/ Tìm m để bpt : $ y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x^2})^3 - 1- x^2 $ $ m $

[h.vuong_pdl]

Cho hàm số : $ y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x^2})^3 - 1- x^2$
a/ Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên.
b/ Tìm m để bpt : $ y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x^2})^3 - 1- x^2 \geq m $

Đặt: $a = \sqrt{1+x^2} \Rightarrow a \in \left[1;+\infty\right).$ Khi đó:

$y = \dfrac{1}{2}a^3-a^2. Khảo sát hàm: f(a) = \dfrac{a^3}{2} - a^2 trên \left[1;+\infty\right). $

Có:$ f'(a) = \dfrac{3}{2}a^2-2a, f'(a) = 0 \Leftrightarrow a=\dfrac{4}{3}. \textup{ vì } a \in \left[1;+\infty\right). $

Lập BBT: tìm ra :

$\min_{\left[1;+\infty\right). } y = y\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{-16}{27}$


Từ BBT, ta thấy, hàm không có GTLN, mà:

$\lim_{x \to + \infty} y = + \infty.$

b) Bạn chưa nêu rõ yêu cầu bài toán. Mình sẽ tìm 2 TH thường gặp

*) để bpt có nghiệm thì :

mọi m đều thỏa mãn.

**) y/c: để bpt nghiệm đúng với mọi x: thì

$m < \min y = \dfrac{-16}{27}$