Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-09-2011 - 07:54

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI

Thời gian: 150 min ( không kể thời gian phát đề)


Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$
Bài 2: Cho tứ diện $ABCD$ và $I$ là một điểm nằm trong tứ diện đó. Các đường thẳng $AI, BI, CI, DI$ cắt các mặt đối diện của tứ diện tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{IA}{AA'} + \dfrac{IB}{BB'} + \dfrac{IC}{CC'} + \dfrac{ID}{DD'} = 3$$
Bài 3: Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$.
Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$.
Bài 4: Tìm tất cả các số chính phương $S$ có tính chất: $S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $m$ là số nguyên dương nào đó.
Bài 5. Giải phương trình
$$4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$$
Bài 6: Cho tập hợp $S = \{1;2;3;...;2011\}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tập hợp $S$ có tính chất sau: nếu ta xóa $n$ số trong tập hợp $S$ thì trong các số còn lại của $S$, không có số nào là tích của 2 số khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-09-2011 - 07:56

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-09-2011 - 07:57

Bài 4 nhớ đã được anh xusinst post lời giải ở topic nào đó. Anh có thể dẫn link không (hình như ở Mỗi ngày một chút thì phải).

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 25-09-2011 - 12:50

Bài 4: Tìm tất cả các số chính phương $ S $ có tính chất: $ S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $ S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $ m$ là số nguyên dương nào đó.

$ 2^{8}+2^{11}+2^{m}$ thay $ m=1,2,...,11$ thấy ko có số nào tm
vậy $ m> 8$
$ S=2^{8}+2^{11}+2^{m}=2^{8}(1+2^{3}+2^{m-8})$
vì $ 2^{8}$là số chính phương nên $ 1+2^{3}+2^{m-8}$ phải là số chính phương
đăt $ a^{2}=1+2^{3}+2^{m-8}$
$ \Leftrightarrow (a-1)(a+1)=2^{3}(2^{m-11}+1)$
lại có $ a-1$ và $ a+1$ cùng tính chẵn lẻ
2TH $ a-1=2^{2}$
$ a+1=2(2^{m-11}+1)$
hoặc$ a-1=2$
$ a+1=2^{2}(2^{m-11}+1)$


#4 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 25-09-2011 - 12:54

Bài 5. Giải phương trình

$ 4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$

đặt
$ (4-x)x=a(4\geq a\geq 0)$
$ PT\Leftrightarrow a=\dfrac{3\sqrt{3}}{1+\sqrt{a^{2}+1}}$
$ \Leftrightarrow a+a\sqrt{a^{2}+1}=3\sqrt{3}$
$ \Leftrightarrow a^{4}+6\sqrt{3}a-27=0$ $ \Leftrightarrow (a-\sqrt{3})(a^{3}+\sqrt{3}a^{2}+3a+9\sqrt{3})=0$
vậy có nghiệm$ a=\sqrt{3}$
xét $ f(a)=a^{3}+\sqrt{3}a^{2}+3a+9\sqrt{3}$
vậy$ f(a)$ đồng biến
xét trên khoảng$ (4\geq a\geq 0)$ thấy $ f(a)\geq 9\sqrt{3}$
f(a) trên vô no
vậy chỉ có $ a=\sqrt{3}$


#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 25-09-2011 - 12:54

Bài 4 nhớ đã được anh xusinst post lời giải ở topic nào đó. Anh có thể dẫn link không (hình như ở Mỗi ngày một chút thì phải).

Bài 4 đây. Link: http://diendantoanho...ic=60778&st=120

#6 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 25-09-2011 - 12:59

Bài 1: Cho 3 số thực $ x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $ x + y + z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$

$ f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}z^{3}$
$ f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=\dfrac{(x+y)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}$
$ f(x,y,z)-f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=x^{3}+y^{3}-\dfrac{(x+y)^{3}}{4}=\dfrac{3(x^{3}+y^{3}-x^{2}y-y^{2}x)}{4}\geq 0\forall x,y,z\geq 0$
vậy $ f(x,y,z)\geq f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)$
ta có $ f(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x+y}{2},z)=\dfrac{(x+y)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}=\dfrac{(1-z)^{3}}{4}+\dfrac{1}{2}z^{3}=\dfrac{z^{3}+3z^{2}-3z+1}{4}$
xét $ f(x)=z^{3}+3z^{2}-3z+1$
có $ f'(z)=3z^{2}+6z-3=3(z^{2}+2z-1)$
khảo sát hàm số ta tìm được min
còn bài 6 tổ hợp chắc sử dụng phương pháp xây dựng song ánh ai có cách giải post lên để mọi người tham khảo nhé
@: nếu có thẻ $ thì gõ nhanh hơn biết mấy


#7 ¸.¤°•Rajn•°¤.¸

¸.¤°•Rajn•°¤.¸

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2011 - 17:14

Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức













$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$


Để e góp cách này


$ x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$
$ =x^3+\dfrac{2}{(2+\sqrt{2})^3}+y^3+\dfrac{2}{(2+\sqrt{2})^3}+\dfrac{z^3}{2}+\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{4}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}$
$ \geq\dfrac{3}{(2+\sqrt{2})^2}$
$ -\dfrac{4}{(2+\sqrt{2})^3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})^3}$
$ Đẳng thức <=>x=y=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}},z=\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 27-09-2011 - 20:49

ıllıllı_●±‡±●_♪ε[-ิิ_•ิ]з♪_[....VMF....]_♪ε[-ิิ_•ิ]з♪_●±‡±●_ıllıllı


Hình đã gửi

#8 Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 27-09-2011 - 21:00




Bài 3: Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$.
Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$.


Bài này bên Mathscrope có lời giải rồi , mình chỉ viết lại ý tưởng đó thôi :
Với $ b=1 $ thì dãy $(x_n)$ là cấp số cộng với công sai $ d=1 $ , do đó không tồn tại giới hạn .
Với $ b \neq 1 $ Ta có:
$ x_{n+1} = 1+bx_n \Leftrightarrow x_{n+1} - \dfrac{1}{1-b} = b(x_n-\dfrac{1}{1-b}) $
Do đó :
$ x_{n+1}=b^{n}(x_1-\dfrac{1}{1-b})=b^n(a-\dfrac{1}{1-b}) $
Đến đây chỉ cần dựa vào kiến thức về giới hạn trong SGK ta có thể tìm ra điều kiện của $a,b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 27-09-2011 - 21:01

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#9 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 01-09-2013 - 18:18

 

Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$

Vì $x,y$ vai trò tương đương nhau nên đẳng thức xảy ra khi $x=y=a$ và $z=b$.

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$$b^2(x^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3xa^{2}b^2$$

$$b^2(y^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3ya^{2}b^2$$

$$a^{2}(z^{3}+b^{3}+b^{3})\geq 3za^{2}b^{2}$$

Cộng các BĐT trên vế theo vế :

$$b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}+4a^{3}b^{2}+2b^{3}a^{2}\geq 3a^{2}b^{2}(x+y+z)=3a^{2}b^{2}\Rightarrow b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}\geq 3a^{2}b^{2}-4a^{3}b^{2}-2b^{3}a^{2}$$

Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{1/2}=2$

Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} b^{2}=2a^{2} & & \\ 2a+b=1& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{2-\sqrt{2}}{2} & & \\ b=-1+\sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$$

Khi đó $$(3-2\sqrt{2})(x^{3}+y^{3})+\frac{3-2\sqrt{2}}{2}z^{3}\geq \frac{17-12\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\frac{1}{2}z^{3}\geq \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$$

Vậy : $MinP=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{2-\sqrt{2}}{2},z=-1+\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-09-2013 - 18:34

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh