Làm bài 3 trước
Cách 1:Phương trình (1) được viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - 3f\left( x \right) = - 2x\,\,\,\,(2)$.
Vế trái của phương trình (2) là một hàm số tuyến tính, vì vậy ta giả sử hàm số cần tìm có dạng $f\left( x \right) = ax + b$.
Khi đó (1): $a\left( {ax + b} \right) + b - 3\left( {ax + b} \right) = - 2x,\,\,\,\forall x \in R$ hay $\left( {{a^2} - 3a} \right)x + ab - 2b = - 2x$
Đồng nhất hệ số ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a = - 2\\ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1;\,a = 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\\f\left( x \right) = 2x\end{array} \right.$
Thử lại thấy hai hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Cách 2: Dùng dãy số
Thay $x$ bởi ${f\left( x \right)}$ ta được: $f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = 3f\left( {f\left( x \right)} \right) - 2f\left( x \right),\,\,\forall x \in R$
..............................
$\underbrace {f\left( {...f\left( x \right)} \right)}_{n + 2} = 3\underbrace {f\left( {...f\left( x \right)} \right)}_{n + 1} - 2\underbrace {f\left( {...f\left( x \right)} \right)}_n$
hay ${f_{n + 2}}\left( x \right) = 3{f_{n + 1}}\left( x \right) - 2{f_n}\left( x \right),\,\,n \ge 0$
Đặt: ${x_n} = {f_n}\left( x \right),\,\,n \ge 0$ ta được phương trình sai phân: ${x_{n + 2}} = 3{x_{n + 1}} - 2{x_n}$
Phương trình đặc trưng: ${\lambda ^2} - 3\lambda + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\lambda = 1\\\lambda = 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_n} = {c_1} + {c_2}{2^n}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = {c_1} + {c_2} = x\\{x_1} = {c_1} + 2{c_2} = f\left( x \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 2x - f\left( x \right)\\{c_2} = f\left( x \right) - x\end{array} \right.$
Vậy $f\left( x \right) = x + {c_2}$ hoặc $f\left( x \right) = 2x - {c_1}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 01-10-2011 - 16:13
