Chủ đề này có 3 trả lời

[thuthao99]

1,Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}{l} m\sqrt{x^2+1}=y+m\\ m\sqrt{y^2+1}=x+m\\\end{array} \right.$
2,Chứng minh rằng với mọi $m>0$, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}{l}x^2=y+\dfrac{m}{y}\\y^2=x+\dfrac{m}{x}\\\end{array} \right.$
3,Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:$\sqrt{mx^2+1}+\sqrt{mx^2+2}=\sqrt{x^3+8}+\sqrt{x^3+9}$

[perfectstrong]

Bài 1:
Nếu (x;y) là một nghiệm của hpt thì (y;x) cũng là 1 nghiệm của hpt.
nên để hpt có nghiệm duy nhất thì x=y. Thay vào, ta có:

\[m\sqrt {{x^2} + 1} = x + m\]

\[ \Rightarrow {m^2}{x^2} + {m^2} = {x^2} + 2xm + {m^2}\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{m^2}x - x - 2m} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ \left( {{m^2} - 1} \right)x = 2m \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne \pm 1 \\ x = \dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} = 0 \Rightarrow m = 0\]
Thử lại, nếu m=0 thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)

[Cao Xuân Huy]

Bài 1:
Nếu (x;y) là một nghiệm của hpt thì (y;x) cũng là 1 nghiệm của hpt.
nên để hpt có nghiệm duy nhất thì x=y. Thay vào, ta có:

\[m\sqrt {{x^2} + 1} = x + m\]

\[ \Rightarrow {m^2}{x^2} + {m^2} = {x^2} + 2xm + {m^2}\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {{m^2}x - x - 2m} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ \left( {{m^2} - 1} \right)x = 2m \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne \pm 1 \\ x = \dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} \right.\]

\[ \Rightarrow \dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} = 0 \Rightarrow m = 0\]
Thử lại, nếu m=0 thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)

Anh Hân giải thích chỗ này chứ em chưa hiểu lắm

[perfectstrong]

Thì dễ thấy trong bài 1, vai trò của x và y là như nhau.
Nếu ta có một nghiệm là (x;y) thì khi thay cặp (y;x) vào hpt thì (y;x) cũng là một nghiệm của hpt.
Do đó, để hpt có nghiệm duy nhất thì x=y.
(Vì giả sử $x \ne y$ thì $(x;y) \ne (y;x)$)