Chuyên đề 1 : DẤU HIỆU CHIA HẾT
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾTI. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIACho 2 số nguyên $a$ và $b$ trong đó $b \ne 0$ ta luôn tìm được hai số nguyên $q$ và $r$ duy nhất sao cho: $a = bq + r,\,\,0 \le r \le \left| b \right|$
Khi $a$ chia cho $b$ có thể xẩy ra $\left| b \right|$ số dư: $r \in \left\{ {0;1;2;...;\left| b \right|} \right\}$.
Đặc biệt: $r = 0$ thì $a = bq$, khi đó ta nói $a$ chia hết cho $b$ hay $b$ chia hết $a$. Ký hiệu: $a \vdots b$ hay $b|a$.
Vậy: $a \vdots b \Leftrightarrow $ có số nguyên $q$ sao cho $a = bq$
II. CÁC TÍNH CHẤTIII. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾTGọi $N = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0}} $
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125$\begin{array}{l}
+ \,N \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\\
+ \,N \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;5} \right\}\\
+ \,N \vdots 4;25 \Leftrightarrow \overline {{a_1}{a_0}} \vdots 4;25\\
+ \,N \vdots 8;125 \Leftrightarrow \overline {{a_2}{a_1}{a_0}} \vdots 8;125\end{array}$
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9$ + N \vdots 3;9 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}} \, \vdots 3;\,9$
3. Một số dấu hiệu khác$\begin{array}{l}
+ \,N \vdots 11 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a_0} + {a_2} + ...} \right) - \left( {{a_1} + {a_3} + ...} \right)} \right] \vdots 11\\
+ \,N \vdots 101 \Leftrightarrow \left[ {\left( {\overline {{a_1}{a_0}} + \overline {{a_5}{a_4}} + ...} \right) - \left( {\overline {{a_3}{a_2}} + \overline {{a_7}{a_6}} + ...} \right)} \right]\, \vdots \,101\\
+ \,N \vdots 7\,;\,13 \Leftrightarrow \left[ {\left( {\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} + \overline {{a_8}{a_7}{a_6}} + ...} \right) - \left( {\overline {{a_5}{a_4}{a_3}} + \overline {{a_{11}}{a_{10}}{a_9}} + ...} \right)} \right]\, \vdots 7\,;\,13\\
+ \,N \vdots 37\, \Leftrightarrow \left( {\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} + \overline {{a_5}{a_4}{a_3}} + ...\overline {{a_n}{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}} } \right)\, \vdots \,37\\
+ \,N \vdots 19 \Leftrightarrow \left( {{a_n} + 2{a_{n - 1}} + {2^2}{a_{n - 2}} + ... + {2^n}{a_0}} \right)\, \vdots \,19\end{array}$
IV. ĐỒNG DƯ THỨCa. Định nghĩa: Cho $m$ là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên $a$ và $b$ cho cùng số dư khi chia cho $m$ thì ta nói $a$ đồng dư với $b$ theo modun $m$.
Ký hiệu: $a \equiv b\left( {\bmod m} \right)$
Vậy: $a \equiv b\left( {\bmod m} \right) \Leftrightarrow a - b\, \vdots m$.
b. Các tính chất1. Với mọi $a$ $ \Rightarrow a \equiv a\left( {\bmod m} \right)$
2. Nếu $ \Rightarrow a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,b \equiv a\left( {\bmod m} \right)$
3. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,b \equiv c\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow a \equiv c\left( {\bmod m} \right)$
4. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,c \equiv d\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow a + c \equiv b + d\left( {\bmod m} \right)$
5. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,c \equiv d\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow ac \equiv bd\left( {\bmod m} \right)$
6. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,d \in UCLN\left( {a,b} \right),\,\,\left( {d,m} \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d}\left( {\bmod m} \right)$
7. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,d > 0\,,\,d \in UCLN\left( {a,b,m} \right) \Rightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d}\left( {\bmod \dfrac{m}{d}} \right)$
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ1. Định lý EulerNếu $m$ là 1 số nguyên dương, $\varphi \left( m \right)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$, $\left( {a,m} \right) = 1$ thì ${a^{\varphi \left( m \right)}} \equiv 1\left( {\bmod m} \right)$.
Công thức tính $\varphi \left( m \right)$:
Phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố $m = p_1^{{\alpha _1}}p_2^{{\alpha _2}}...p_k^{{\alpha _k}}$ với ${p_i} \in p;\,{\alpha _i} \in {N^*}$ thì $\varphi \left( m \right) = m\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_1}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_k}}}} \right)$.
2. Định lý FermatNếu $p$ là số nguyên tố và $a$ không chia hết cho $p$ thì ${a^{p - 1}} \equiv 1\left( {\bmod p} \right)$.
3. Định lý WilsonNếu $p$ là số nguyên tố thì $\left( {p - 1} \right)! + 1 \equiv 0\left( {\bmod p} \right)$
PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT1. Phương pháp 1:
SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾTVí dụ 1: Tìm các chữ số $a, b$ sao cho $\overline {a56b} \,\,\, \vdots \,\,\,45$.
Giải:Ta thấy $45 = 5.9$ mà $\left( {5,9} \right) = 1$. Do đó $\overline {a56b} \,\,\, \vdots \,\,\,45 \Leftrightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 5$ và $9$
Xét $\overline {a56b} \,\, \vdots 5 \Leftrightarrow b \in \left\{ {0;5} \right\}$
Nếu $b = 0 \Rightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 9 \Leftrightarrow a + 5 + 6 + 0\, \vdots 9 \Rightarrow a + 11\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow a = 7$
Nếu $b = 5 \Rightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 9 \Leftrightarrow a + 5 + 6 + 5\, \vdots 9 \Rightarrow a + 16\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow a = 2$
Vậy $a = 7$ và $b = 0$ ta có số $7560$; $a = 2$ và $b = 5$ ta có số $2560$.
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của một số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9.
Giải:Gọi số đã cho là $N$. Ta có: $N$ và $5N$ khi chia cho 9 cùng có một số dư.
$ \Rightarrow 5N - N\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow 4N\,\, \vdots \,\,9$. Mà $\left( {4,9} \right) = 1 \Rightarrow N \vdots 9$ (đpcm).
BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài 1: Tìm các chữ số $x, y$ sao cho
a. $\overline {34x5y} \,\, \vdots \,\,4$ và $9$. b. $\overline {2x78} \,\, \vdots \,\,17$
Bài 2: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số $A = 192021…7980$. Hỏi số $A$ có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 3: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?