Chủ đề này có 4 trả lời

[phantom1996]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.Tìm MIN của: A=$a^3 + b^3 + c^3 - 6(ab+bc+ca)$.

[Crystal]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.Tìm MIN của: A=$a^3 + b^3 + c^3 - 6(ab+bc+ca)$.

Như thế này nhé.

Theo Cauchy - Schwarz, ta có:
$\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}$

$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Khi đó: $A \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6\left( {ab + bc + ca} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 8\left( {ab + bc + ca} \right)$

$ \ge 9 - \dfrac{8}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 9 - \dfrac{8}{3}{t^2} = f\left( t \right)$

Từ đó $\min A = \min f\left( t \right) = - 15$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Như thế này nhé.

Theo Cauchy - Schwarz, ta có:
$\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}$

$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Khi đó: $A \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6\left( {ab + bc + ca} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 8\left( {ab + bc + ca} \right)$

$ \ge 9 - \dfrac{8}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 9 - \dfrac{8}{3}{t^2} = f\left( t \right)$

Từ đó $\min A = \min f\left( t \right) = - 15$. Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$.

$t=a+b+c\geq 3\Leftrightarrow 9-\dfrac{8}{3}t^{2}\leq -15 $mới đúng chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 09-10-2011 - 20:26

[phantom1996]

$ \ge 9 - \dfrac{8}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 9 - \dfrac{8}{3}{t^2} = f\left( t \right)$

Chỗ này hình như anh đánh giá sai rồi thì phải??????cái này là tìm MAX mà?????????????????????

[Crystal]

Chỗ này hình như anh đánh giá sai rồi thì phải??????cái này là tìm MAX mà?????????????????????

Uhm, anh xin lỗi, kiểm tra lại mới thấy sai (ẩu quá)