Chủ đề này có 4 trả lời

[Tan Loi]

Cho hàm sô y = x + 1 trên x - 1 có đồ thị (C)
Chứng minh rằng đường thẳng d: y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.

File gửi kèm

•  bai toan tuong giao.bmp   576.05K   347 Số lần tải

[E. Galois]

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:
\[
\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x^2 + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0 (a)\\
x \ne 1 \\
\end{array} \right.
\]
Vì
\[
2.1^2 + \left( {m - 3} \right).1 - m - 1 = - 2 < 0,\forall m
\]
Nên phương trình (a) luôn có hai nghiệm $ \x_1$, $\x_2$ và $\x_1 < 1< \x_2$. Do đó (d) luôn cắt (c) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị

Giả sử
\[
A\left( {x_1 ;2x_1 + m} \right);B\left( {x_2 ;2x_2 + m} \right)
\]
Ta có:
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow AB^2 = 5\left( {x_1 - x_2 } \right)^2 = 5\left[ {\left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 4x_1 x_2 } \right] \\
= 5\left[ {\dfrac{{\left( {m - 3} \right)^2 }}{4} + 2(m + 1)} \right] = \dfrac{5}{4}\left( {m^2 + 2m + 13} \right) \\
\end{array}
\]
\[
\Rightarrow \min AB = \sqrt {15} \Leftrightarrow m = - 1
\]

[Crystal]

Bài toán:
Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( {\,C\,} \right)\$
Chứng minh rằng đường thẳng $d:\,y = 2x + m$ luôn cắt $\left( {\,C\,} \right)$ tại hai điểm $A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định $m$ để đoạn $AB$ có độ dài ngắn nhất.
Gợi ý:
* Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {\,C\,} \right)$ và $d$:

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m\,\, \Leftrightarrow x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + m} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\,\,\,(1)\,\,;x \ne 1$

Phương trình (1) có $\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 8\left( {m + 1} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 16 > 0$ nên (1) có 2 nghiệm phân biệt.

$\left( {\,C\,} \right)$ có tiệm cận đứng $x=1$ nên ta chứng minh 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$.

* Tìm $m$ để $AB$ ngắn nhất.

Theo Viete: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{{m - 3}}{2}\\
{x_1}{x_2} = - \dfrac{{m + 1}}{2}
\end{array} \right.$

Khi đó: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} $, thay vào tìm được $m$.

[Tan Loi]

Hoành độ giao điểm của (d) và © là nghiệm của phương trình:
\[
\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x^2 + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0 (a)\\
x \ne 1 \\
\end{array} \right.
\]
Vì
\[
2.1^2 + \left( {m - 3} \right).1 - m - 1 = - 2 < 0,\forall m
\]
Nên phương trình (a) luôn có hai nghiệm $ \x_1$, $\x_2$ và $\x_1 < 1< \x_2$. Do đó (d) luôn cắt © tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị

Giả sử
\[
A\left( {x_1 ;2x_1 + m} \right);B\left( {x_2 ;2x_2 + m} \right)
\]
Ta có:
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow AB^2 = 5\left( {x_1 - x_2 } \right)^2 = 5\left[ {\left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 4x_1 x_2 } \right] \\
= 5\left[ {\dfrac{{\left( {m - 3} \right)^2 }}{4} + 2(m + 1)} \right] = \dfrac{5}{4}\left( {m^2 + 2m + 13} \right) \\
\end{array}
\]
\[
\Rightarrow \min AB = \sqrt {15} \Leftrightarrow m = - 1
\]

cảm ơn bạn rất nhiều!

[Tan Loi]

Bài toán:
Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( {\,C\,} \right)\$
Chứng minh rằng đường thẳng $d:\,y = 2x + m$ luôn cắt $\left( {\,C\,} \right)$ tại hai điểm $A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định $m$ để đoạn $AB$ có độ dài ngắn nhất.
Gợi ý:
* Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {\,C\,} \right)$ và $d$:

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m\,\, \Leftrightarrow x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + m} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\,\,\,(1)\,\,;x \ne 1$

Phương trình (1) có $\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 8\left( {m + 1} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 16 > 0$ nên (1) có 2 nghiệm phân biệt.

$\left( {\,C\,} \right)$ có tiệm cận đứng $x=1$ nên ta chứng minh 2 nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$.

* Tìm $m$ để $AB$ ngắn nhất.

Theo Viete: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{{m - 3}}{2}\\
{x_1}{x_2} = - \dfrac{{m + 1}}{2}
\end{array} \right.$

Khi đó: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} $, thay vào tìm được $m$.

Cảm ơn bạn rất nhiều!