5 replies to this topic

[bebo12]

Giải các hệ sau
1. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}-y^{4}= 240\\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{aligned}\right. $

2. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+y^{2}x^{2}+9x\\ x(y^{3}-x^{3})=7\end{aligned}\right. $

3. $ \left\{\begin{aligned}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{aligned}\right. $

4. $ \left\{\begin{aligned}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\\(x+\dfrac{1}{x})^{y}=(y+\dfrac{1}{y})^{x}\end{aligned}\right. $

Edited by bebo12, 12-10-2011 - 17:44.

[Didier]

$ \begin{Bmatrix}\\x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{matrix}$
giả sử $ x\geq y thì x+\sqrt{x^{2}-2x+2}\geq y+\sqrt{y^{2}-2y+2}
\Rightarrow 3^{y-1}\geq 3^{x-1}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
giải pt $ x+x^{2}+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{x-1}+1$
là xong
cái hệ trên tớ gõ sai đâu mà nó cứ ra sai nhỉ

Edited by Didier, 12-10-2011 - 18:04.

[bebo12]

$ \begin{Bmatrix}\\ x+ \sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1 \end{matrix}$
giả sử $ x\geq y thì x+\sqrt{x^{2}-2x+2}\geq y+\sqrt{y^{2}-2y+2}
\Rightarrow 3^{y-1}\geq 3^{x-1}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$
giải pt $ x+x^{2}+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{x-1}+1$
là xong
cái hệ trên tớ gõ sai đâu mà nó cứ ra sai nhỉ

Mình cũng giải ra chỗ này bằng cách cộng vế đạo hàm rồi, xong chẳng biết cách giải tiếp nữa =.=

[Crystal]

Giải các hệ sau
3. $ \left\{\begin{aligned}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{aligned}\right. $ (1)

Đặt: $u = x - 1;v = y - 1$. Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + \sqrt {{u^2} + 1} = {3^v}\\
v + \sqrt {{v^2} + 1} = {3^u}
\end{array} \right.$

Trừ theo vế của 2 phương trình trên ta được $u + \sqrt {{u^2} + 1} + {3^u} = v + \sqrt {{v^2} + 1} + {3^v}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} + 1} + {3^t}$ có $f'\left( t \right) = \dfrac{{\sqrt {{t^2} + 1} + t}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + {3^t}\ln 3$ và $\sqrt {{t^2} + 1} > \sqrt {{t^2}} \ge - t \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\,\forall t$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R$.

Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow u = v$. Thay vào 1 phương trình ta có: $u + \sqrt {{u^2} + 1} = {3^u}\,\,\,(3) \Rightarrow \ln \left( {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right) - u\ln 3 = 0$

Xét hàm số: $g\left( u \right) = \ln \left( {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right) - u\ln 3$ có $g'\left( u \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{u^2} + 1} }} - \ln 3 < 1 - \ln 3 < 0\,\,\,\,\,\forall u \in R$ suy ra $g\left( u \right)$ nghịch biến trên $R$.

Mặt khác phương trình (3) có nghiệm $u=0$ nên có nghiệm ban đầu của hệ (1) là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

1. $ \left\{\begin{aligned}x^{4}-y^{4}= 240\\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y)\end{aligned}\right. $

Đây là câu 1 trong đề VMO 2010. Bạn xem chi tiết ở đây.
 VMO 2010 bài 1..doc   36.5KB   540 downloads

[Crystal]

Giải các hệ sau

2. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {x^3}y + 9y = {y^3}x + {y^2}{x^2} + 9\,\,\,\,\,\,(1)\\
x({y^3} - {x^3}) = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$

4. $ \left\{\begin{aligned}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\\(x+\dfrac{1}{x})^{y}=(y+\dfrac{1}{y})^{x}\end{aligned}\right. $

Bài 2.

Dễ thấy $x \ne y$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + xy\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 9\left( {x - y} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + 2{x^2}y + x{y^2} - 9} \right) = 0 \Rightarrow {x^3} + 2{x^2}y + x{y^2} - 9 = 0\,\,\,\,\,(3)$

$\left( 2 \right) \Rightarrow y = \sqrt[3]{{\dfrac{7}{x} + {x^3}}}$, thay vào (3) ta được: ${x^3} + 2{x^2}\sqrt[3]{{\dfrac{7}{x} + {x^3}}} + x\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{7}{x} + {x^3}} \right)}^2}}} - 9 = 0\,\,\,\,\,(4)$

Dùng hàm số ta thấy phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x=1$, suy ra $y=2$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$.

[bebo12]

Thanks nhé

MoD: Đừng nên spam bạn nhé. Lần sau thì mình sẽ xóa.

Edited by perfectstrong, 14-10-2011 - 18:45.