Đến nội dung


Hình ảnh

Chọn đội tuyển HCM 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 hung0503

hung0503

    benjamin wilson

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LA

Đã gửi 19-10-2011 - 13:33

Ngày thứ nhất

Bài 1: (4đ)
Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases}{x^{y+1}=(y+1)^x} \\{\sqrt{-4x^2+18x-20}+\dfrac{2x^2-9x+6}{2x^2-9x+8}=\sqrt{y+1}}\end{cases}$

Bài 2: (4đ)
Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt $(O_1) $và $(O_2)$ lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt$ (O_1)$ tại P khác C. Đường thẳng MD cắt$ (O_2)$ tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Cm MO vuông góc EF.

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương, cm rằng:
$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài 4: (4đ)
Cho đa thức$ P(x)=x^{2012}-mx^{2010}+m (m \neq 0)$. Giả sừ P(x) có đủ 2012 nghiệm thực. Cm rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm $x_o$ thỏa mãn $|x_o|\leq \sqrt{2}$

Bài 5: (4đ)
Cho các số nguyên x,y. Biết rằng $x^2-2xy+y^2-5x+7y$ và $x^2-3xy+2y^2+x-y$ đều chia hết cho 17. Cm rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho 17

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 19-10-2011 - 13:39

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

Hình đã gửi


#2 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 19-10-2011 - 15:10

Bài 3 http://diendantoanho...ic=60082&st=150

#3 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2011 - 15:49

có ai làm ra bài hình học không nhỉ :-?. Nhân tiện cho mình tham khảo luôn cách làm tốt cho bài đa thức đi :D

#4 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2011 - 16:13

Bài 5:
Có $x^{2}-2xy+y^{2}-5x+7y$ chia hết cho 17 (1)
$x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y $ chia hết cho 17 (2)
Thấy: $x^{2}-3xy+2y^{2}+x-y=(x-y)(x-2y+1)$ chia hết cho 17
Vì 17 là số nguyên tố nên:
$(x-y)$ chia hết cho 17 hoặc $(x-2y+1) $ chia hết cho 17
TH1: $(x-y) \vdots 17 $
Có $ x^{2}-2xy+y^{2}-5x+7y= (x-y)(x-y-5)+2y $ chia hết cho 17
$\Rightarrow y \vdots 17$
$\Rightarrow x \vdots 17$ $\Rightarrow Đ.P.C.M$
TH2:$(x-2y+1) \vdots 17$
Có $x^{2}-2xy+y^{2}+x-y=x(x-2y+1)+y^{2}-6x+7y $ chia hết cho 17
$\Rightarrow y^{2}-6x+7y$ chia hết cho 17
Lấy (1)-(2)=$xy-y^{2}-6x+8y=(xy-12x+15y)-(y^{2}-6x+7y) $ chia hết cho 17
$\Rightarrow xy-12x+15y $ chia hết cho 17 (Đ.P.C.M)
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#5 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2011 - 16:38

Bài 1

Đkxđ: $2 \le x \le \dfrac{5}{2}$. Từ đó suy ra $z=y+1 \ge 4$

Ta có \[{x^z} = {z^x} \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{x} = \dfrac{{\ln z}}{z} \; \; (1)\]

\[2 \le x \le \dfrac{5}{2} \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x} \ge \dfrac{{\ln 2}}{2}\]

\[z \ge 4 \Rightarrow \dfrac{{\ln z}}{z} \le \dfrac{{\ln 2}}{2}\]
Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất $(x,z)=(2,4) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right)$

Thử lại thấy thỏa. Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 19-10-2011 - 16:39


#6 hung0503

hung0503

    benjamin wilson

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LA

Đã gửi 20-10-2011 - 15:48

Ngày thứ hai

Bài 1: (4đ)
Tìm tất cả các hàm$ f: R\rightarrow R$ thỏa
$f(f(x)+y)=f(x^2-y)=4yf(x)$

Bài 2: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, lấy P,Q bất kỳ thuộc AB,AC. M,N,J lần lượt là trung điểm BP,QC,PQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R. Cm OR vuông góc PQ

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm
$\dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$

Bài 4: (4đ)
Tìm số hạng tổng quát của dãy $u_n$ thỏa

$\begin{cases}{u_1=\dfrac{4}{5}} \\{u_{n+1}=\dfrac{u_n^4}{u_n^4-8u_n^2+8}}\end{cases}$

Bài 5: (4đ)
Tìm các số nguyên dương a,b sao cho $a^2b^2-4(a+b)$ là bình phương của một số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 20-10-2011 - 15:57

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

Hình đã gửi


#7 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 21-10-2011 - 11:44

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương, cm rằng:
$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$



Ngày thứ hai

Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm
$\dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$
Bài 3:(V1)
Cách 1:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum (\dfrac{1}{a(1+b)}-\dfrac{1}{1+abc}) \geq 0$
Tương đương:
$\sum \dfrac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)} \geq 0$
Luôn đúng!
Cách 2:

Ta có, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\dfrac{1+abc}{a(1+b)}+\dfrac{1+abc}{b(1+c)}+ \dfrac{1+abc}{c(1+a)}\geq3$
$]\Leftrightarrow \dfrac{1+abc}{a(1+b)}+1+\dfrac{1+abc}{b(1+c)}+1+ \dfrac{1+abc}{c(1+a)}+1 \geq6 $
$\Leftrightarrow \dfrac{1+a+ab(1+c)}{a(1+b)}+ \dfrac{1+b+bc(1+a)}{b(1+c)}+ \dfrac{1+c+ca(1+b)}{c(1+a)} \geq6$
$ \dfrac {1+a}{a(1+b)}+ \dfrac{1+b}{b(1+c)}+ \dfrac{1+c}{c(1+a)}+ \dfrac{b(1+c)}{(1+b)}+ \dfrac{c(1+a)}{(1+c)}+ \dfrac{a(1+b)}{(1+a)} \geq6$
Áp dụng AM-GM cho 6 số ta có điều phải chứng minh
Bài 3:(V2)

Ta dễ thấy rằng:$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$, bởi vậy ta có:$a^2+2b^2+c^2\geq ab+bc+ca+b^2\geq (b+a)(b+c)$
Nên:$\dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}\leq \dfrac{ab^2}{(b+a)(b+c)}$ tương tự như vậy ta có:
$\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}\leq \dfrac{bc^2}{(c+a)(c+b)}, \dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \dfrac{ca^2}{(a+b)(a+c)}$
Từ đây ta chỉ cần chứng minh:
$\dfrac{ab^2}{(b+a)(b+c)}+ \dfrac{bc^2}{(c+a)(c+b)}+ \dfrac{ca^2}{(a+b)(a+c)}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$ là xong!
Quy đồng mẫu số, khai triển, rút gọn ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với:
$ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2\geq 0$ (Đúng!)
Vậy bất đẳng thức trên đúng, từ đó ta có đpcm
Nguồn:MS

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#8 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 21-10-2011 - 20:17

Bài 1

Đkxđ: $2 \le x \le \dfrac{5}{2}$. Từ đó suy ra $z=y+1 \ge 4$

Đào đâu ra điều kiện này vậy Hưng :mellow:
Công nhận 2 bài Hình này khó thật,t làm hoài chả ra,chả hiểu nó cho vuông góc làm gì ?
Làm được 7 bài,bỏ 2 câu Hình và 1 câu Đa thức không chắc chắn :(
Giải 1 bài cho vui vậy :lol:
Bài 5:(Ngày 2)
Đặt $a^2b^2-4(a+b)=x^2(x \in Z)$.Dễ dàng nhận thấy rằng:$x^2 <a^2b^2$.Suy ra $x=ab-1$ hay $x \le ab-2$
Với $x=ab-1$,thay vào phương trình đầu,ta có:$2ab-4(a+b)=1$(vô lý do bên trái là số chẵn,bên phải là số lẻ)
Với $x \le ab-2$,ta có:
$$ab \le a+b+1(1)$$
Không mất tính tổng quát,ta giả sử:$a \le b$
Xét $a \ge 3 \rightarrow ab \ge 3b \ge a+2b \ge a+b+1$(mâu thuẫn với (1))
Vậy $a<3 \rightarrow a=1$ hay $a=2$
Với $a=1$ thì $b^2-4b-4=x^2$
Hay:
$$(b-2)^2-x^2=8$$
Hay:
$$(b-2-x)(b-2+x)=8$$.
Đến đây chỉ là giải phương trình nghiệm nguyên mà thôi.Tương tự cho $a=2$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#9 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 22-10-2011 - 08:19

Bài 4 đề 2
NX đây là bài dãy số hay xây dựng bởi pt bấc 2
Nó là một trương hợp của bài sau(đề nghị Olympic 30 4)
Dãy số (u_n) thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = m}\\{{u_{n + 1}} = u_n^4 - 12u_n^3 + 50u_n^2 - 84{u_n} + 50}\end{array}} \right.$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#10 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-10-2011 - 18:33

Bài 4 đề 2
NX đây là bài dãy số hay xây dựng bởi pt bấc 2
Nó là một trương hợp của bài sau(đề nghị Olympic 30 4)
Dãy số (u_n) thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = m}\\{{u_{n + 1}} = u_n^4 - 12u_n^3 + 50u_n^2 - 84{u_n} + 50}\end{array}} \right.$

Bài 4 này bạn có cách giải hay không ? Mình giải bằng cách sử dụng hàm Hyboloric nên mình đang kiếm cách giải khác cho bài này. :icon6:
Mình sẽ trình bày bài 4 và bài 1 của ngày 2(ngày 2 mình chỉ bỏ mỗi câu Hình :icon10: )
Bài 1(Ngày 2):
Thay $y$ bằng $\dfrac{x^2-f(x)}{2}$ trong giả thuyết,ta thu được:
$$f\left(\dfrac{f(x)+x^2}{2} \right)=f\left(\dfrac{x^2+f(x)}{2} \right)+2(x^2-f(x))f(x)$$
Vậy ta thu được:$f(x)=0$ và $f(x)=x^2$.Thử lại,ta thấy thỏa mãn.

Bài 4(Ngày 2):
Nhận thấy $u_n \neq 0$ nên ta đưa được công thức truy hồi của dãy $\{u_n \}$ về dạng sau:
$$\dfrac{1}{u_{n+1}}=1+\dfrac{8}{u_{n}^4}-\dfrac{8}{u_{n}^2}$$
Đặt $x_n=\dfrac{1}{u_n}$,ta thiết lập một dãy mới như sau:
$$\{x_n \}:\left\{\begin{matrix} x_1=\dfrac{5}{4} \\ x_{n+1} =1+8x_{n}^4-8x_{n}^2 \end{matrix}\right.$$
Đặt $x_n=\cosh{y}=\dfrac{1}{2}(e^{y}+e^{-y})$.Ta dễ dàng có tính chất của hàm số cosh:
$$\cosh{2y}=2\cosh^2{y}-1$$.
Áp dụng vào bài toán,ta có:
$$x_{n+1}=1+8\cosh^4{y}-8\cosh^2{y}=2(4\cosh^4{y}-4\cosh^2{y}+1)-1=2(2\cosh^2{y}-1)^2-1=2\cosh^2{2y}-1=\cosh{4y}$$
Như vậy nếu ta đặt $x_1=\cosh{y}=\dfrac{1}{2}(e^{-y}+e^{y})=\dfrac{5}{4}$ thì ta dễ dàng có:
$$x_n=\cosh{4^{n-1}y}$$
bằng phương pháp quy nạp Toán học.
Suy ra:
$$u_n=\dfrac{1}{\cosh{4^{n-1}y}}=\dfrac{2}{e^{4^{n-1}y}+e^{4^{n-1}.(-y)}}(1)$$
Việc còn lại là tìm $y$.Ta có:
$$e^{y}+e^{-y}=\dfrac{5}{2}$$
Hay:
$$e^{2y}+1-\dfrac{5}{2}e^{y}=0$$
Ta thu được:$y=\pm \ln{2}$.
Thay vào (1),ta có:
$$u_n=\dfrac{2}{2^{4^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{4^{n-1}}}}$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-10-2011 - 10:59

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 22-10-2011 - 23:17

Mình sẽ làm bài tổng quát mà mình nêu ra bạn có thế dễ tìm được lời giải cho bài 4
Nay nghỉ mùa nên có thời Gian gõ hi hi
Đặt $u_n=x_n+3$ ta có


$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = m - 3}\\{{x_{n + 1}} = x_n^4 - 4x_n^2 + 2}\end{array}} \right.$
Đặt tiếp $x_n=2v_n$ thì

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1} = \dfrac{{m - 3}}{2}}\\{{v_{n + 1}} = 8v_n^4 - 8v_n^2 + 1}\end{array}} \right.$
Bây giờ thì có dạng bài tổng quát của bài 4 rồi
Với $\dfrac{{m - 3}}{2} = 1 \Rightarrow m = 5 \Rightarrow {v_1} = 1$
Bằng phương pháp qui nạp dễ thấy $v_n=1 vậy u_n=5$
Với $\dfrac{{m - 3}}{2} = - 1 \Rightarrow m = 1 \Rightarrow {v_1} = - 1,{v_2} = 1$
Bằng phương pháp qui nạp ta có${v_n} = 1(\forall n \ge 2)$
Vậy ${u_n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1(n = 1)}\\{5(n \ge 2)}\end{array}} \right.$
Với$\left| {\dfrac{{m - 3}}{2}} \right| < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5$
Đặt $\alpha = {\rm{ar}}c\cos \dfrac{{m - 3}}{2}$
Vậy thì ta có $v_1=cosalpha,v_2=cos(4alpha),...$
Qui nạp thì ta có ${u_n} = 2\cos ({4^{n - 1}}\alpha ) + 3$
Với $\left| {\dfrac{{m - 3}}{2}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 5}\\{m < 1}\end{array}} \right.$
Đây là trường hợp khó nhất và cũng là TH bao trùm bài 4
Xét phương trình bậc 2(thế nên mình mới bảo đây là dạng quen thộc xây dựng bởi pt bậc hai)
${t^2} - (m - 3)t + 1 = 0$
Có $\Delta = {(m - 3)^2} - 4 = {m^2} - 6m + 5 > 0(\left| {m - 3} \right| > 2)$
Vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ là
${t_1} = \dfrac{{m - 3 - \sqrt {{m^2} - 6m + 5} }}{2},{t_2} = \dfrac{{m - 3 + \sqrt {{m^2} - 6m + 5} }}{2}$


$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = m - 3}\\{{t_1}{t_2} = 1}\end{array}} \right.$
Ta sẽ cm công thức tổng quát của$v_n$ là
${v_n} = \dfrac{1}{2}(t_1^{{4^{n - 1}}} + t_2^{{4^{n - 1}}})$
Thật vậy
$v_1$ thì thỏa rồi
$8v_n^4 - 8v_n^2 + 1 = \dfrac{1}{2}{(t_1^{{4^{n - 1}}} + t_2^{{4^{n - 1}}})^4} - 2{(t_1^{{4^{n - 1}}} + t_2^{{4^{n - 1}}})^2} + 1 = ...... = {v_{n + 1}}$
Xin lỗi vì cũng biến đổi khá dài nên không post hết lên được
Từ đó ta tìm được
${u_n} = t_1^{{4^{n - 1}}} + t_2^{{4^{n - 1}}} + 3\]$
Bài toán được giải quyết
Các bạn có thể tìm thấy một cách giải khác đơn giản hơn dựa vào bài toán mình vừa trình báy
Viết nhiều như này đứa nào đọc mà không cảm ơn thì chết với tui
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#12 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-10-2011 - 11:01

Không biết có bác nào giải ra 2 bài Hình học không nhỉ ? Mong các bác cho mình một lời giải đẹp cho 2 bài đó. :tongue:
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh